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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Espace de Banach et Hilbert

Posté par
Delmak
13-06-19 à 01:29

Salut je suis étudiant en L3 et nouveau sur le forum, j'ai un peu du mal à comprendre des notions en topologie: Et particulièrement la différence entre Espace de Hilbert et Espace de Banach

De mes recherches je sais que:
Un espace pré-hilbertien est
           - un espace vectoriel (ça Ok)
           - muni d'un produit scalaire
                     (1\il y a des espaces qui ne sont pas muni de produit scalaire ?)

Un espace de Hilbert est:
         - un espace pré-hilbertien
         - un espace complet (tout suite de cauchy est convergente)

Un espace de Banach est:
         - un espace vectoriel
         - un espace normé ( 2\tous les espaces ne sont pas muni de norme ?)
         - un espace complet
         - (3\doit-il être aussi muni du produit scalaire ?)

Enfin 4\ Y a-t-il un lien ou une propriété entre espace de Banach et Hilbert du style tout espace de Hilbert est un espace de Banach

Merci beaucoup tout ça est assez flou pour moi ..

Posté par
luzak
re : Espace de Banach et Hilbert 13-06-19 à 09:10

Bonjour !
Bien évidemment tout espace de Hilbert est espace de Banach ... pour la norme hermitienne de l'espace.


Inversement si tu prends un espace de Banach (pour une norme non hermitienne, ça existe) il ne sera pas espace de Hilbert.

Posté par
Delmak
re : Espace de Banach et Hilbert 13-06-19 à 18:26

Ah je crois que j'ai compris un peu mieux donc les espaces de Hilbert c'est un ensemble plus "petit" que l'ensemble des espaces de Banach c'est ça ?

Donc la différence entre un espace de Banach et de Hilbert c'est que le premier il suffit d'avoir une norme peut importe laquelle et le deuxième doit avoir une norme Euclidienne (on dit Hermitienne pour les complexes?) donc sa norme est forcement égale à norme = \sqrt{x.x}

Y a t-il une difference entre norme 2 et norme euclidienne ? car lorsqu'on développe la norme euclidienne pour un vecteur on retrouve sa norme 2
Merci

Posté par
jsvdb
re : Espace de Banach et Hilbert 13-06-19 à 19:33

Bonjour Delmak.

Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel muni d'une norme.

Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance associée.
Il existe des EVN non complets, donc tout espace vectoriel normé n'est pas nécessairement un Banach.

Un espace préhilbertien est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire.

A partir du produit scalaire, on fabrique une norme sur l'espace préhilbertien.

Cet espace préhilbertien devient par le fait même un espace vectoriel normé.

Si en plus la norme rend complet l'espace préhilbertien, alors celui-ci prend le nom d'espace de Hilbert; c'est donc un cas particulier d'espace de Banach.

Posté par
Delmak
re : Espace de Banach et Hilbert 13-06-19 à 23:05

Merci à toi c'est beaucoup plus clair maintenant

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