Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Espace lp de suites de puissance p-ième sommable.

Posté par
lavache 08-01-19 à 15:25

Bonjour

Soit   $p\in[1,\infty]$ . On considère l'espace vectoriel normé $(\ell^{p},||.||)$

1. Montrer qu'une base de   $\ell^{p}$ doit forcément contenir un nombre infini d'éléments.
2. Soit   $1\leq p < q \leq \infty$ . Montrer que   $\ell^{p}\subset\ell^{q}$
et l'identité :   $\ell^{p}\rightarrow\ell^{q}$ ,   $x\rightarrow x$ est continue.

Pour la première question,   $\ell^{p}$ est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites infinies de nombres réels ou complexes.
Une suite est une famille infinie d'élément donc il me parait juste qu'une base de $\ell^{p}$ doive contenir une infinité d'élément. Je ne sais pas comment mieux justifier mieux que cela..

Pour la deuxième, considérons une suite   $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ .

On a (je crois),   $|u_{n}|\leq (\frac{|u_{n}|}{||u_{n}||_{\infty}})^{\frac{p}{q}} ||u_{n}||_{\infty}$
car   $|u_{n}|\leq||u_{n}||_{\infty}$    et   $(\frac{|u_{n}|}{||u_{n}||_{\infty}})^{\frac{p}{q}} \leq 1$
d'où $|u_{n}|^{q}\leq |u_{n}|^{p}\,||u_{n}||_{\infty}^{q-p}$

et finalement   $\sum{|u_{n}|^{q}}\leq ||u_{n}||_{\infty}^{q-p}\sum{|u_{n}|^{p}}$   donc converge

Est-ce correct? Je commence à réfléchir à la continuité de l'identité..
Merci d'avance!

Posté par re : Espace lp de suites de puissance p-ième sommable. 08-01-19 à 16:15

Bonjour lavache.
La question 1 est intéressante.
Tu dois te rappeler qu'un espace vectoriel est dit de dimension infinie s'il n'est pas de dimension finie.
Par conséquent, tu dois montrer que si tu prends une famille finie $(x_i)_i$ d'éléments de l'espace vectoriel, alors tu peux trouver un élément de cet espace que tu n'atteindras jamais par aucune combinaison linéaire des éléments de la famille $(x_i)_i$ .
Ce que tu as écrit ne justifie donc rien.

Posté par re : Espace lp de suites de puissance p-ième sommable. 08-01-19 à 16:22

Bonjour !

Ou alors trouver une famille libre de dimension infinie !

Pour la question 2 y a pas de secret, faut trouver une constante M > 0 telle que

$\sum{|u_{n}|^{q}}\leq M\sum{|u_{n}|^{p}}$

Posté par re : Espace lp de suites de puissance p-ième sommable. 08-01-19 à 17:31

Citation :
Ou alors trouver une famille libre de dimension infinie !

En TD nous avons eu un exercices sur l'espace   $\ell^{1}$ dans lequel nous étudions la suite $\delta _{k}$ , qui vaut 1 en k et 0 ailleurs.

La famille   $(\delta _{k})_{k\in\mathbb{N}}$ est génératrice car toute suite peut s'écrire comme combinaison linéaire de suites $\delta _{k}$ .

Elle est libre car si

$\forall \lambda _{n}\in\mathbb{R} \,\,(\sum_{k=1}^{\infty}{\lambda _{k}\delta _{k}})_{n\in\mathbb{N}} = (0)_{n\in\mathbb{N}} & \Rightarrow \forall n\in\mathbb{N}, \sum_{k=1}^{\infty}{\lambda_{k} }\times\begin{cases} 1\text{ if } k=n \\ 0\text{ if } k\neq n \end{cases} = 0 & \Rightarrow \forall n\in\mathbb{N}, \lambda_{n}=0$

Est-ce que c'est bon pour la 1)?
et pour la 2), ai-je bien montré que   $\ell^{p}\subset\ell^{q}$   ?
Merci!

Posté par re : Espace lp de suites de puissance p-ième sommable. 08-01-19 à 17:37

Non, la famille n'est pas génératrice.
Étant libre, elle formerait une base. Ce qui n'est pas le cas.
On ne prend que des combinaisons linéaires finies.

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