Après quoi?
L'ensemble des matrices d'ordre n muni de l'application qui a 2matrices
A et B associe le rang de leur différence est si je ne m'abuse
un espace métrique.

Sans aller jusque là, l'intersection d'une partie quelconque
de R^n avec R^n, muni de la restriction à cet ensemble d'une
norme de R^n est aussi un espace métrique.

Ce qui les a poussé à faire ca, bein tu l'as dit, c'est de
pouvoir utiliser des objets tels la limite, la continuité etc...
Ca fait partie d'une partie immense de l'analyse que l'on
appelle la topologie (une branche de l'algèbre aussi d'ailleurs).

Par exemple, au lieu d'étudier des suites de nombres, on peut étudier
des suites de fonctions, de polynômes, de matrices, d'ensemble
ou ...

Imagine la suite de fonctions définie sur [0,1] par
fn(x)=x^n
quelle signification peut on donner à la limite de cette suite (si elle
existe) et si par exemple je veux étudier l'intégrale de sa
limite est ce que je peux la trouver facilement??(genre l'intégrale
de la limite est elle la limite de l'intégrale par exemple)