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espace métrique

Posté par
mousse42 19-06-19 à 17:49

Bonjour

Soit F un sev de E tel que F^\circ\ne \varnothing, montrer que E=F

J'aimerais que vous validiez ma proposition :

Soient x_0\in F^\circ et x_1\in E\backslash F,

Puisque x_0\in F^\circ, il existe \eta >0 tel que B(x_0,\eta)\subset F, ainsi \dfrac{\eta(x_1-x_0)}{2\cdot||x_1-x_0||}\in B(x_0,\eta)\subset F or x_1\notin F. On a une contradiction, donc E=F

Merci pour vos réponses

Posté par
carpediemre : espace métrique 19-06-19 à 19:06

salut

je pense que c'est faux si /2 > 1 ...

et qui est ton x_1 ?

Posté par
mousse42re : espace métrique 19-06-19 à 19:12

oui, si \eta >1 il suffit de prendre \eta'=\dfrac{1}{\eta}

et x_1\in E\backslash F

Posté par
mousse42re : espace métrique 19-06-19 à 19:18

Voici une correction carpediem

Soient x_0\in F^\circ et x_1\in E\backslash F,

Puisque x_0\in F^\circ, il existe \eta >0 tel que B(x_0,\eta)\subset F, on pose \eta':=\min\left(\eta,\frac{1}{\eta}\right), ainsi B(x_0,\eta')\subset B(x_0,\eta)\subset F


ainsi \dfrac{\eta '(x_1-x_0)}{2\cdot||x_1-x_0||}\in B(x_0,\eta')\subset F or x_1\notin F. On a une contradiction, donc E=F

Posté par
carpediemre : espace métrique 19-06-19 à 19:26

ouais je dirais que ça marche ...

Posté par
mousse42re : espace métrique 19-06-19 à 19:28

merci bonne soirée

Posté par
carpediemre : espace métrique 19-06-19 à 19:46

de rien et à toi aussi

Posté par
jsvdbre : espace métrique 19-06-19 à 19:49

Salut mousse.
Il y a une façon topologique simple de voir les choses : si V est un voisinage de x_0 inclus dans F alors V - x_0 est un voisinage de 0 inclus dans F car l'application x \mapsto x+x_0 est continue de E dans E donc aussi de F dans F.
Par suite F contient une boule ouverte de centre 0 et contient donc "toutes les directions" et donc E = F puisque F est un SEV de E.

Posté par
mousse42re : espace métrique 19-06-19 à 21:36

merci jsvdb pour ce complément d'information

Posté par
luzakre : espace métrique 20-06-19 à 10:27

Bravo à ceux qui (ce ne fut pas mon cas dans un premier temps) ont compris que F° désignait l'intérieur de F !
Cette notation, dans un espace vectoriel, désigne plutôt un orthogonal !

Il fallait écrire : \overset{\,\circ}{F} (soit "\overset{\,\circ}{F}" entre balises LateX) pour désigner l'intérieur !

Posté par
jsvdbre : espace métrique 20-06-19 à 13:14

Bonjour luzak
J'ai toujours cru qu'un orthogonal était désigné par un T renversé.
Je ne risquais donc pas d'interpréter autre chose.
Et vu le contexte...
Et vu le classicisme de l'exercice...

Posté par
jsvdbre : espace métrique 20-06-19 à 13:15

Mais oui, tu a raison, l'intérieur est désigné plutôt par le cercle bien au dessus de la lettre.

Posté par
mousse42re : espace métrique 23-06-19 à 11:15

Dans mon cours, la notation de l'intérieur est F^{\circ]. J'utiliserai votre notation à l'avenir

Posté par
carpediemre : espace métrique 23-06-19 à 13:32

c'est simplement un pb de pouvoir le taper  éventuellement ... car la notation conventionnelle est comme le dit luzak ...


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