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Espace métrique

Posté par
Prototipe19 08-01-20 à 21:05

Bonsoir ...

Besoin d'aide silvouplait.

Soit :

\varphi :+ + croissance tel que \varphi (0)=0  et

\varphi (u+v)\leq \varphi (u)+\varphi(v)

a) montrer que si (E,d) est un espace métrique,  alors

L'application de E×E+ ,(x,y)\rightarrow \varphi(d(x,y))
(x,y)\rightarrow \varphi(d(x,y))

Est une distance sur E.

b) on note \varphi :++ , uu/(u+1) , montrer que cette application vérifié les conditions de a)

On note d'(x,y)=\varphi(d(x,y))

C ) montrer que d' est topologiquement équivalente à d.

d) la notion de borné est elle invariante par homeomorphisme ? (Considérer d et d' sur )


Pour le a) j'ai pensé à considérer  x,y,x'y' des réels tel que

\varphi (d(x,y)+d(d',y'))\leq \varphi(d(x,y))+\varphi(d(x',y'))

Et montrer que ca verifie les conditions d'une distance

Le b) aussi je suis allé dans la même idée à savoir

Considérer \varphi(d(x,y))=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}



Ensuite vérifier les condition.

J'ai en revanche des petits soucis au niveau du c) et d)...
Merci

Posté par
carpediemre : Espace métrique 08-01-20 à 21:12

salut

visiblement tu ne comprends pas les variables apparaissant dans les conditions et les quantificateurs afférents ...

ensuite il y a trois conditions à vérifier ...

posons d'(x, y) = (d(x, y))    (pourquoi d' ? parce que j'ai lu l'énoncé en entier ...)

que doit vérifier d' pour être une distance ?

Posté par
Jezebethre : Espace métrique 08-01-20 à 21:12

Bonjour Prototipe19

Prototipe19 @ 08-01-2020 à 21:05

Pour le a) j'ai pensé à considérer  x,y,x'y' des réels tel que

\varphi (d(x,y)+d(d',y'))\leq \varphi(d(x,y))+\varphi(d(x',y'))

Hein ?
ça c'est toujours vrai d'après la croissance de phi.

Prototipe19 @ 08-01-2020 à 21:05

Le b) aussi je suis allé dans la même idée à savoir

Considérer \varphi(d(x,y))=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}


ça c'est la définition, et c'est pas phi c'est u
dans b) il faut vérifier des choses sur u !

Pour c) et d) on verra plus tard parce que là j'ai l'impression que tu n'as pas fait grand-chose pour a) et b).

Posté par
Jezebethre : Espace métrique 08-01-20 à 21:13

*pas la croissance de phi, mais l'hypothèse sur phi

Posté par
Prototipe19re : Espace métrique 08-01-20 à 21:23

Bonsoir...

Merci je vous envois dans les minutes qui suivent ma proposition pou a) b)

Posté par
Prototipe19re : Espace métrique 08-01-20 à 21:40

a)

. En posant d'(x,y)=\varphi(d(x,y))

.d'(x,y)=0 => \varphi(d(x,y))=0=>d(x,y)=0 par hypothèse (\varphi(0)=0
Et comme d une distance alors x=y.

Pour la symétrie c'est trivial ...

. Inégalité triangulaire ...

d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)=>\varphi(d(x,y))\leq \varphi(d(x,z)+d(z,y))\leq \varphi(d(x,z))+\varphi(d(z,y))

J'ai fait intervenir tour à tour l'hypothèsede croissance de phi dans la première inégalité et celle de la linéarité dans la deuxième inégalité,  et j'obtiens le résultat

Posté par
Prototipe19re : Espace métrique 08-01-20 à 21:53

Pour le b)

J'ai remarqué  que

u+v+1\geq u+1=>\frac{u}{u+v+1}\leq \frac{u}{u+1}

Et

u+v+1\geq v+1=>\frac{v}{u+v+1}\leq \frac{v}{v+1}

u,v étant positif ..

En sommant les deux inégalité je vérifie l'hypothèse de linéarité,  pour phi(0)=0 c'est trivial ...

Posté par
Prototipe19re : Espace métrique 08-01-20 à 21:57

Donc pour c)

Étant donnée d'' (que j'aurai du noté  en a) au lieu de d')
d" et d' définissent la mêmetopologie,  elle sont équivalentes par conséquent topologiquement équivalentes ... est ce correcte ? Merci

Posté par
carpediemre : Espace métrique 08-01-20 à 22:31

c/ à quelle condition deux distances sont topologiquement équivalentes ?

d/ que peut-on dire de la fonction x --> x(1 + x) (pour x >= 0) ?

conclusion ?

Posté par
Prototipe19re : Espace métrique 08-01-20 à 22:34

C) il suffit de montrer que toutes boules de l'un contient une boule de l'autre mais je peine à voir l'astuce

Pour le d) je comprend pas l'idée

Posté par
Prototipe19re : Espace métrique 08-01-20 à 22:40

Aaahhh ok ok j'ai compris je reviens ... Merci je vous envois les deux dernières questions

Posté par
Prototipe19re : Espace métrique 08-01-20 à 22:56

d'(x,y)=\varphi (d(x,y))=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}\leq d(x,y)

aB(x,r)=>d(a,x)<r =>d'(a,x)<r

Et donc B(x,r) B'(x,r)

Posté par
luzakre : Espace métrique 09-01-20 à 08:26

Tu n'as pas montré la séparation !
Si on te dit \varphi(0)=0 il ne faut pas lire \varphi(x)=0\implies x=0.

Il doit manquer quelque chose dans ton énoncé : la fonction nulle est croissante et nulle en 0. Le d' associé n'est pas une distance.

.....................
Pour le dernier message il te manque une inclusion inverse (les boules n'ont pas forcément le même rayon).

...........................
Il y a une autre définition de "topologiquement équivalentes" concernant l'application \mathrm{id}_{\R_+} qui donnerait plus rapidement les résultats.

.................................
Enfin il est facile de voir que (\R_+,d) (distance usuelle) n'est pas bornée alors que ...


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