Niveau Licence Maths 1e ann

Espace métrique : distance Euclidienne

Posté par
dandave 08-03-13 à 13:10

Salut tout le monde,
Je bloque sur la distance euclidienne sur $\mathbb{C}^{n}$ .

Citation :
Soit $n\in\mathbb{N}^{*$ , on définit sur $\mathbb{C}^{n}$ l'application : $d_{2}: (\mathbb{C}^{n})^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ ; $(x,y)\mapsto \displaystyle (\sum_{k=1}^{n}|x_{k}-y_{k}|^{2})^{\frac{1}{2}}$ (où: $x=(x_{1},\ldots,x_{n})$ et $y=(y_{1},\ldots,y_{n})$ )

Montrer que $d_{2}$ est une distance sur $\mathbb{C}^{n}$

Il me reste l'inégalité triangulaire, par contre, j'ai réussi à démontrer l'inégalité de Cauchy-Shwarz suivante:

Citation :
$\forall (x_{1},\ldots,x_{n}),y=(y_{1},\ldots,y_{n})\in\mathbb{C}^{n}$ : $|\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \bar{x_{k}}y_{k}|^{2}\leq (\sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{2})(\sum_{k=1}^{n} |y_{k}|^{2})$

quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment utiliser Cauchy-Shwarz pour démontrer l'inégalité triangulaire ? Merci beaucoup

Posté par re : Espace métrique : distance Euclidienne 08-03-13 à 15:05

Comparer $\sum_{k=1}^n \vert x_k+y_k\vert^2$ et $\left(\left(\sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{2}\right)^{1/2}+\left(\sum_{k=1}^{n} |y_{k}|^{2}\right)^{1/2}\right)^2$ en développant, en se souvenant que la valeur absolue de la partie réelle d'un nombre complexe est majorée par son module, et en utilisant Cauchy-Schwarz.

Posté par re : Espace métrique : distance Euclidienne 11-03-13 à 14:39

Salut,

Merci beaucoup, j'ai procédé comme suit:

Soient $x=(x_{1},\ldots, x_{n}), y=(y_{1},\ldots,y_{n})$ et $z=(z_{1},\ldots,z_{n}) \in \mathbb{C}^{n}$

Cauchy-Schwarz: $\displaystyle |\sum_{k=1}^{n} \bar{(x_{k}-z_{k})}(z_{k}-y_{k})|^{2} \leq (\sum_{k=1}^{n}|x_{k}-z_{k}|^{2})(\sum_{k=1}^{n}|z_{k}-y_{k}|^{2})$

Or, on a: $(\mathcal{R}e(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \bar{(x_{k}-z_{k})}(z_{k}-y_{k}))^{2} \leq |\sum_{k=1}^{n} \bar{(x_{k}-z_{k})}(z_{k}-y_{k})|^{2}$

Donc: $(\mathcal{R}e(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \bar{(x_{k}-z_{k})}(z_{k}-y_{k}))^{2} \leq (\sum_{k=1}^{n}|x_{k}-z_{k}|^{2})(\sum_{k=1}^{n}|z_{k}-y_{k}|^{2})$

il en suit: $|\mathcal{R}e(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \bar{(x_{k}-z_{k})}(z_{k}-y_{k})| \leq (\sum_{k=1}^{n}|x_{k}-z_{k}|^{2})^{\frac{1}{2}}(\sum_{k=1}^{n}|z_{k}-y_{k}|^{2})^{\frac{1}{2}}$

D'autre part, puisque, $\forall x\in\mathbb{R} : x\leq|x|$
Donc:
$\mathcal{R}e(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \bar{(x_{k}-z_{k})}(z_{k}-y_{k})\leq |\mathcal{R}e(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \bar{(x_{k}-z_{k})}(z_{k}-y_{k})|$

Alors: $\mathcal{R}e(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \bar{(x_{k}-z_{k})}(z_{k}-y_{k}) \leq (\sum_{k=1}^{n}|x_{k}-z_{k}|^{2})^{\frac{1}{2}}(\sum_{k=1}^{n}|z_{k}-y_{k}|^{2})^{\frac{1}{2}}$

En multipliant par $2$ et on ajoutant $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} |x_{k}-z_{k}|^{2}$ et $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} |z_{k}-y_{k}|^{2}$ :

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} |x_{k}-z_{k}|^{2}+2\mathcal{R}e( \sum_{k=1}^{n} \bar{(x_{k}-z_{k})}(z_{k}-y_{k})+\sum_{k=1}^{n} |z_{k}-y_{k}|^{2} \leq \sum_{k=1}^{n} |x_{k}-z_{k}|^{2} +2(\sum_{k=1}^{n}|x_{k}-z_{k}|^{2})^{\frac{1}{2}}(\sum_{k=1}^{n}|z_{k}-y_{k}|^{2})^{\frac{1}{2}}+\sum_{k=1}^{n} |z_{k}-y_{k}|^{2}$

On en déduit:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} |x_{k}-z_{k}+z_{k}-y_{k}|^{2}\leq [(\sum_{k=1}^{n} |x_{k}-z_{k}|^{2})^{\frac{1}{2}}+(\sum_{k=1}^{n} |z_{k}-y_{k}|^{2})^{\frac{1}{2}}]^{2}$

D'où le résultat:

$\displaystyle (\sum_{k=1}^{n} |x_{k}-y_{k}|^{2})^{\frac{1}{2}}\leq (\sum_{k=1}^{n} |x_{k}-z_{k}|^{2})^{\frac{1}{2}}+(\sum_{k=1}^{n} |z_{k}-y_{k}|^{2})^{\frac{1}{2}}$

Est-ce-que c'est juste ? Merci beaucoup

Posté par re : Espace métrique : distance Euclidienne 11-03-13 à 15:54

Tu t'es un peu compliqué la vie. Du coup je n'ai lu qu'en diagonale, il me semble que ça va.

Posté par re : Espace métrique : distance Euclidienne 11-03-13 à 16:04

Merci
Y-a-t-il une méthode plus simple ?

Posté par re : Espace métrique : distance Euclidienne 11-03-13 à 16:09

Déjà, il suffit de montrer $\Vert x+y\Vert \leq\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ . Introduire des différences ne fait qu'alourdir.

Posté par re : Espace métrique : distance Euclidienne 11-03-13 à 16:12

Oui c'est vrai, j'ai introduit les différences pour parler directement de la distance euclidienne, sans passer par la norme soit disons

En tout cas, merci beaucoup pour votre aide

Posté par re : Espace métrique : distance Euclidienne 13-03-13 à 15:50

Avec plaisir.

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