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espace qui engendre Mn(R)
Bonsoir,
Eh oui encore moi avec mes difficultés 
là je suis face à un problème où je ne trouve aucune issue: il s'agit de montrer que l'espace des matrices diagonalisable de rang 1 engendre E!!
Merci d'avance
Bonsoir karim
Considère des matrices avec beaucoup de 0 (j'entends par là, des matrices avec au plus 2 coefficients non nuls).
Kaiser
Si tu prends une matrice élémentaire , c'est bien une matrice de rang 1.
Parmi ces matrices, lesquelles sont diagonalisables, et pourquoi ?
Kaiser
ce sont celles qui ont un 1 sur la diagonale car elles annulent le polynôme scindé à racines simples : X²-X.
remarque en passant :
ce sont celles qui ont un 1 sur la diagonale car elles annulent le polynôme scindé à racines simples : X²-X.
ou peut-être plus simplement parce qu'elles sont diagonales !
Kaiser
ah mais, je te rassure, on n'a pas fini !
Parlons des autres matrices , avec i différent de j
1) je repose ma question : pourquoi ne sont-elles pas diagonalisables ?
2) Comment les modifier de manière à les rendre diagonalisables mais à continuer à avoir une matrice de rang 1 ?
Kaiser
1. elles ne sont pas diagonalisables car le 1 n'est pas sur la diagonale
2. On rajoute un 1 sur la colonne j?
1. elles ne sont pas diagonalisables car le 1 n'est pas sur la diagonale
Tu pourrais être un peu plus précis : raisonne avec les valeurs propres.
2. On rajoute un 1 sur la colonne j?
où exactement ?
Kaiser
1. Son polynôme minimal est X².
OK. Tu peux aussi dire que 0 est son unique valeur propre mais elle n'est pas nulle.
2. on ajoute un 1 sur la colonne j et une ligne autre que i.
tu veux ajouter deux 1, mais ça va te donner une matrice de rang 2.
Kaiser
c'est une possibilité, mais essaie de mettre le moins de 1 possible (n'oublie pas : il nous faut encore n²-n matrices à trouver).
Kaiser
Bonjour !
Moi je ne comprend toujours pas pourquoi est ce que la matrice avec un 1 sur la colonne j et une ligne autre que i et dans la colonne j est une matrice de rang 2 ? Car je n'ai qu'un seul vecteur non nul !
Je ne suis pas sûr de comprendre la forme de ta matrice :
lorsque tu décris ta matrice, essaie de dire une truc du genre "je mets un 1 à la place (k,l)" (où les entiers k et l sont à préciser).
Dans ce cas, on a déjà un 1 à la place (i,j) et tu veux mettre un autre 1 à une place (k,j) avec k différent de j, c'est bien ça (j'avais l'impression que tu voulais rajouter deux 1).
Dans ce cas, quel entier k choisis-tu ?
Kaiser
non, pas n'importe lequel : la matrice sera de rang 1, certes, mais ne sera pas nécessairement diagonalisable.
Kaiser
ce qui est plus simple à voir c'est que c'est une famille génératrice (car une matrice élémentaire s'obtient par une combinaison linéaire d'au plus deux de ces éléments), donc c'est bien une base car on en a trouvé n².
Et pour la diagonalisabilité des dernière matrices que tu as construites ?
Kaiser
Juste une question à part, afin d'éviter de poster un autre topic : quand j'ai une matrice symétrique, je peux dire que c'est la matrice d'un produit scalaire ?
elles ont un 1 sur la diagonale donc c'est OK ?
pas vraiment. Tout ce que tu peux dire c'est une matrice triangulaire avec un 1 et des 0 sur la diagonale. Avec seulement ça, tu ne peux pas conclure.
Il faut raisonner avec les multiplicités des valeurs propres et montrer qu'elles sont égales aux dimensions des espaces propres associés.
quand j'ai une matrice symétrique, je peux dire que c'est la matrice d'un produit scalaire ?
Pas toujours. Pour pouvoir affirmer une telle chose, il faut (et c'est équivalent) supposer que la matrice est également définie positive.
Kaiser
1. il faut que je vérifie que l'espace E1 est de dimension 1, et E0 de dimension n-1.
2. D'accord, c'est même logique Y-a-t il un moyen élémentaire de vérifier qu'une matrice est symétrique définie positif. Par exemple : vérifier que f*f est symétrique (ok) définie positive .
1. il faut que je vérifie que l'espace E1 est de dimension 1, et E0 de dimension n-1.
oui. En l'occurence, il suffit de montrer que E0 est de dimension n-1 (l'autre sera automatiquement de dimension 1, car il est non réduit à 0).
2. D'accord, c'est même logique
Y-a-t il un moyen élémentaire de vérifier qu'une matrice est symétrique définie positif. Par exemple : vérifier que f*f est symétrique (ok) définie positive .Dans ce cas, ça équivaut à montrer que f est inversible.
Kaiser
1. E0 de dimension n-1 c'est ok car j'ai n-1 colonnes ?
oui, parce que la matrice te dit qu'il y a au moins n-1 vecteurs de base dans le noyau. Le noyau est donc exactement de dimension n-1 car la matrice n'est pas nul (ou bien tu dis que la matrice est de rang 1 donc le noyau est de dimension n-1, par le théorème du rang).
Kaiser
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