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Espace tangent

Posté par
camalo 05-12-19 à 09:40

Bonjour à tous,

J'ai du mal à comprendre une démonstration où il s'agit de montrer que l'espace tangent est un sous espace vectoriel de dimension d. On trouve facilement la preuve sur internet mais je bloque sur la conclusion :
Je rappelle qu'on a M une sous-variété, on se place au point a, on parle de TaM l'espace tangent à M au point a... On a un difféomorphisme...

La différentielle de au point a envoie l'espace tangent à M en a sur l'espace tangent à (a) :

TaM = d(-1)(a) (T(a)(Rdx{0}))
= d(-1)(a)(Rdx{0})
qui est un ev. de dimension d.

Si quelqu'un connait cette preuve est-il possible de m'expliquer en quoi la dernière ligne est un ev?

Merci d'avance

Posté par
Ulmierere : Espace tangent 05-12-19 à 11:55

d\phi^{-1}(\phi(a)) = \left(d\phi(\phi^{-1}(\phi(a))\right)^{-1}

Donc d\phi^{-1}(\phi(a))\left(\mathbb{R}^d\times\{0\}\right) = \left(d\phi(\phi^{-1}(\phi(a))\right)^{-1}\left(\mathbb{R}^d\times\{0\}\right).

Et l'image directe par l'inverse est égale à l'image réciproque. Donc T_aM = L^{-1}(E) avec L une application linéaire et E un ev, est un ev

Posté par
Ulmierere : Espace tangent 05-12-19 à 12:02

J'ai oublié de simplifier : L = d\phi(\phi^{-1}(\phi(a))) = d\phi(a) bien-sûr

Posté par
camalore : Espace tangent 08-12-19 à 16:34

Merci beaucoup !

Posté par
camalore : Espace tangent 08-12-19 à 16:58

Et alors pour aller un peu plus loin, savez vous pourquoi le gradient  
∇a est forcément orthogonal à l'espace tangent TaM ?


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