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Espace topologique et compacité
Bonjour cher tous j'aimerais avoir vos idee sur ces differentes question je vous pries.
Soit E et F deux espaces topologique tel que F soit séparé
soit f: E→F
soit G⊂E tel G soit compact.
1) montrer que f(G) est compact
2) supposons E compacte et montrons que si f est continue et bijective sur E alors f est un homeomorphisme
3) soit R une relation d'equivalence sur E
supposons que (E/R , OR) est separe et E compact et montrons que (E/R , OR) est compact
On peut supposer la 1 ere resolu. j'ai utilisé la definition de lla quasi compacité de lebesgue. mais toute autre idee ou suggestion est bien venue. merci
Bjr
Faut ajouter f continue à la question 1.
Bonjour Nyadis.
Pour la 2) : le but est de montrer que f est une application ouverte.
Tout d'abord, comme est bijective, on a
et comme
est continue et que
est compact alors
est compact.
Soit donc un ouvert de
.
On va montrer que est ouvert dans
c'est-à-dire que
est fermé dans
, ou encore, ce qui est équivalent compte-tenu de la compacité de
, que
est compact dans
.
Soit donc une famille d'ouverts de
qui recouvre
...
A toi de trouver une famille finie d'ouverts de qui recouvre
(tuyaux : il va falloir passer dans
en utilisant à fond la continuité et la bijectivité de
)
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