Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau maths sup
Partager :

espace vectoriel

Posté par scribouille (invité) 02-03-05 à 18:21

Bonjour à tous !

J'ai un exo sur les espaces vectoriels et je ne sais vraiment pas par quel bout le prendre !
Voilà l'énoncé :

dans un espace vectoriel E, on considère les 2 sous-espaces vectoriels E1 et E2 et on définit l'ensemble E1+E2={u1+u2\u1 elt de E1 et u2 elt de E2}, on dit que E1+E2 est la somme des deux sev E1 et E2.
1) demontrer que E1+E2 est un sev de E
2) demontrer que E1+E2 est le sev engendré par E1 E2

Merci à toutes les ames charitables de ce forum !!

Scribouille

Posté par titimarion (invité)re : espace vectoriel 02-03-05 à 18:32

Salut
pour le 1) il te suffit de vérifier que si tu prends 2 éléments x et y de  E1+E2 alors x-y est aussi dans E1+E2 ce qui ce vérifie facilement
pour le 2) essaie de montrer les 2 inclusions

Posté par
watik
re : espace vectoriel 02-03-05 à 19:13

bonsoir scribouille

voici qq indications:

1) vous montrez que toute combinaisaon linéaire d'élément de E1+E2 apprtient à E1+E2:

si x=x1+x2 et y=y1+y2 apprtiennent à E1+E2 et si a et b sont deux scalaires vous montrez que ax+by apprtient à E1+E2.

2) tout d'abord il faut remarquez le lemme suvant:

si A et B deux partie de E telles que A inclue dans B alors Vect(A) inclu dans Vect(B).  Vect(A) est le sev engendré par A.

(vous pouvez montrer ce lemme)

donc E1 inclu dans E1UE2 implique Vect(E1) inclu dans Vect(E1UE2)
comme E1=Vect(E1) donc E1 inclu dans Vect(E1UE2)

de même E2 inclu dans Vect(E1UE2)

donc E1+E2 inclu dans Vect(E1UE2)

réciproquement:

soit x un élément de Vect(E1UE2)

donc il existent une famille {zi: zi=xi ou zi=yi; i élément de I} d'éléments de E1UE2 tel que: x= somme(ai.zi)

x= somme(aixi)+(ai'yi) ; en réarangeant les termes entre ceux qui apprtiennent à E1 et ceux qui apprtiennent à E2.

x=x1+y1 avec x1=somme(aixi) et y1=somme(ai'yi); x1 apprtient à E1 et y1 apprtient à E2

donc x apprtient à E1+E2

donc Vect(E1UE2) est inclu dand E1+E2.

donc Vect(E1UE2)= E1+E2.

voila bon courage

Posté par scribouille (invité)re : espace vectoriel 02-03-05 à 20:59

merci beaucoup pour tous ces élements ! Je vais regarder cela de très prêt !!

Scribouille



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1510 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !