Bonjour à tous !
J'ai un exo sur les espaces vectoriels et je ne sais vraiment pas par quel bout le prendre !
Voilà l'énoncé :
dans un espace vectoriel E, on considère les 2 sous-espaces vectoriels E1 et E2 et on définit l'ensemble E1+E2={u1+u2\u1 elt de E1 et u2 elt de E2}, on dit que E1+E2 est la somme des deux sev E1 et E2.
1) demontrer que E1+E2 est un sev de E
2) demontrer que E1+E2 est le sev engendré par E1 E2
Merci à toutes les ames charitables de ce forum !!
Scribouille
Salut
pour le 1) il te suffit de vérifier que si tu prends 2 éléments x et y de E1+E2 alors x-y est aussi dans E1+E2 ce qui ce vérifie facilement
pour le 2) essaie de montrer les 2 inclusions
bonsoir scribouille
voici qq indications:
1) vous montrez que toute combinaisaon linéaire d'élément de E1+E2 apprtient à E1+E2:
si x=x1+x2 et y=y1+y2 apprtiennent à E1+E2 et si a et b sont deux scalaires vous montrez que ax+by apprtient à E1+E2.
2) tout d'abord il faut remarquez le lemme suvant:
si A et B deux partie de E telles que A inclue dans B alors Vect(A) inclu dans Vect(B). Vect(A) est le sev engendré par A.
(vous pouvez montrer ce lemme)
donc E1 inclu dans E1UE2 implique Vect(E1) inclu dans Vect(E1UE2)
comme E1=Vect(E1) donc E1 inclu dans Vect(E1UE2)
de même E2 inclu dans Vect(E1UE2)
donc E1+E2 inclu dans Vect(E1UE2)
réciproquement:
soit x un élément de Vect(E1UE2)
donc il existent une famille {zi: zi=xi ou zi=yi; i élément de I} d'éléments de E1UE2 tel que: x= somme(ai.zi)
x= somme(aixi)+(ai'yi) ; en réarangeant les termes entre ceux qui apprtiennent à E1 et ceux qui apprtiennent à E2.
x=x1+y1 avec x1=somme(aixi) et y1=somme(ai'yi); x1 apprtient à E1 et y1 apprtient à E2
donc x apprtient à E1+E2
donc Vect(E1UE2) est inclu dand E1+E2.
donc Vect(E1UE2)= E1+E2.
voila bon courage
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