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Niveau Maths sup
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espace vectoriel

Posté par cos-taup (invité) 10-05-05 à 16:36

bonjour,

voici l'énoncé: soit E un espace vectoriel de dimension 3.
                soit f un endomorphisme de E

montrer que rg(f^4)=rg(f^3)

Posté par
dadou
re : espace vectoriel 10-05-05 à 16:58

Bonjour,

Si f est bijectif alors Im f^4=Imf^3=R^3 et rg(f^4)=rg(f^3).
Si f n'est pas bijectif alors 0 est valeur propre de f. On note   son ordre de nilpotence. Comme 3, on a :
Ker f^{\beta}=Kerf^3=Kerf^4 (Les noyaux des itérés succéssifs étant tous egaux à partir de l'ordre de nilpotence).
Ainsi dim Kerf^3=dimKerf^4 et donc rg f^4=rg f^3.

Dadou

Posté par
otto
re : espace vectoriel 10-05-05 à 17:03

Bonjour,
c'est peut etre une question idiote, mais pourquoi f serait nilpotent?

Posté par
dadou
re : espace vectoriel 11-05-05 à 10:42

Bonjour,
Il n'y a aucune raison que f soit nilpotent.
Il s'agit seulement de l'ordre de nilpotence de la valeur propre 0 c'est à dire le plus petit entier tel que dim ker f=i (l'ordre de multiplicité de la valeur propre 0) (c'est en réalité la restriction de f à kerf qui est nilpotent).
Mais c'est vrai que tel que je l'ai écrit, cela porte à confusion.

Dadou

Posté par
lolo217
re : espace vectoriel 11-05-05 à 12:22

Bonne preuve de dadou...;sauf que la distinction du cas  f bijectif ne sert absolument à rien !

Posté par
otto
re : espace vectoriel 11-05-05 à 13:10

Ok la je comprend mieux, je n'avais jamais rencontré ceci. Un indice de nilpotente restait dans mon esprit la plus petite puissance qui annulait f.

Posté par cos-taup (invité)re : espace vectoriel 12-05-05 à 16:47

MERCI à tous spécialement à dadou d'avoir bien voulu vous occuper de mon problème



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