bonjour,
voici l'énoncé: soit E un espace vectoriel de dimension 3.
soit f un endomorphisme de E
montrer que rg(f^4)=rg(f^3)
Bonjour,
Si f est bijectif alors Im f^4=Imf^3=R^3 et rg(f^4)=rg(f^3).
Si f n'est pas bijectif alors 0 est valeur propre de f. On note son ordre de nilpotence. Comme 3, on a :
(Les noyaux des itérés succéssifs étant tous egaux à partir de l'ordre de nilpotence).
Ainsi dim Kerf^3=dimKerf^4 et donc rg f^4=rg f^3.
Dadou
Bonjour,
Il n'y a aucune raison que f soit nilpotent.
Il s'agit seulement de l'ordre de nilpotence de la valeur propre 0 c'est à dire le plus petit entier tel que dim ker f=i (l'ordre de multiplicité de la valeur propre 0) (c'est en réalité la restriction de f à kerf qui est nilpotent).
Mais c'est vrai que tel que je l'ai écrit, cela porte à confusion.
Dadou
Ok la je comprend mieux, je n'avais jamais rencontré ceci. Un indice de nilpotente restait dans mon esprit la plus petite puissance qui annulait f.
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