Bonjour

Les deux vecteurs de ta base éventuelle sont linéairement indépendant et le cardinal est maximal donc c'est bien une base .

Pour la deuxiéme , ton vecteur appartient à E si il s'exprime en combinaisons linéaires avec les vecteurs de ta base . A toi de voir si c'est le cas

Pour la troisiéme je t'avouerais que je bloque , il est simple de prouver que deux vecteurs sont supplémentaires mais d'en trouver un est plus laborieux ...

Si quelqu'un à une idée .


jord

Pardon , je voulais bien sur dire :
"prouver que deux sev sont supplémentaires"

autant pour moi

Jord

Bonsoir, (1,3,0,1) n'est pas dans E.

Pour la dernière question, tout sev d'un espace euclidien admet un supplémentaire orthogonal. Tu peux facilement vérifier que le vecteur (1,3,0,1) appartient au supplémentaire orthogonal grâce au produit scalaire de ⁴.

Je rappelle F orthogonal à E ssi quel que soit x appartenant à F, quel que soit y appartenant à E, (x.y)=0

E est de dimension 2, ⁴ de dimension 4, donc F de dimension 2. Tu as déja (1,3,0,1). Trouves-en un dernier!!!

Voilà. Dsl si c'est pas très bien rédigé mais l'essentiel y est je pense.

Pac

Notations:
(e1,e2,e3,e4) la base canonique de 4
[c'est à dire que:
e1=(1,0,0,0) e2=(0,1,0,0) e3=(0,0,1,0) et e4=(0,0,0,1)]
=(1,-1,1,2) =(-2,2,1,1) =(-1,1,2,3)
E = Vect(,,) le sous -espace de 4 engendré par et
=(1,3,0,1)
a) une base de E:
On voit que =+ donc on a aussi E=Vect(,)
d'autre part comme on a = e1-e2+e3+2e4 on voit que le quadruplet (1,-1,1,2) représente aussi les coordonnées de dans la base canonique de 4
pour vérifier l'indépendence linéaire de et il suffit donc d'extraire (de leur systémes de coordonnées)un détérminant d'ordre 2 qui soit non nul comme ceci:
1 |-1 1| 2
-2 | 2 1| 1
le détérminant extrait vaut -30 la famille (,) est libre et comme elle engendre E elle en est une base.(noter que dim(E)=2)
b) est-il dans E ?:
Ici on veut donc étudier la dépendance linéaire des 3 vecteurs , et la régle est la suivante:
si on peut extraire (de leur systémes de coordonnées)un détérminant d'ordre 3 qui soit non nul, ils sont linéairement indépendants et n'est pas dans E allons y:
1 |-1 1 2|
-2 | 2 1 1|
1 | 3 0 1|
en développant ce détérminant par rapport à sa 3 ième ligne on voit qu'il vaut -60 donc E .
c) un supplémentaire de E:
Ici on veut compléter une base de E (par 2 autres vecteurs) pour obtenir une base de 4
on en a déja un le 4 ième n'est pas difficile à trouver e1 !!! puisque:
| 1 -1 1 2 |
| -2 2 1 1 |
| 1 3 0 1 |
e1 | 1 0 0 0 |
en développant par rapport à la 4 ième ligne ce détérminant vaut 60 un supplémentaire de E est donc:
F=Vect(e1,)
(Enfin j'espére que je ne me suis pas trompé)

je vous remercie a tous pour votre aide.