J'ai choisit un mauvais exemple, considérez plutôt deux plans perpendiculaires.

Bonjour,

Deux plans parallèles sont des sous-espaces affines, mais pas vectoriels.
Un sev passe nécessairement par l'origine, donc tous les sev ont au moins un point commun, soit cette origine, la notion de "sev parallèles" n'existe tout simplement pas.

Et ce théorème se démontre assez bien par l'absurde, je crois.

Oui je m'en suis rendu compte, d'ou mon deuxième post ou je considère plutôt deux plans parallèles .

Mais que veux dire F1 union F2?

Merci d'avance.

perpendiculaire (désolé)

Exemple simple dans ² :
F1 axe des X, F2 axe des Y
u (1,0) F1, v (0,1) F2
u+v (1,1) F1 F2

F1 f2 est la réunion au sens ensembliste de F1 et de F2, et pas le sev généré par cette réunion servant de famille génératrice.
Dans mon exemple, F1 F2 est la réunion des deux droites X et Y, et le sev engendré par cette réunion est ² tout entier

Mais je comprend pas dans votre exemple F1 et F2 se sont pas inclus entre eux. Pourtant ce sont deux sous espace vectoriel de R²

Oui, précisément, F1 et F2 sont des sev, aucun n'est inclus dans l'autre, donc F1 F2 n'est pas un sev.
C'est un exemple de l'un des deux sens - le plus délicat -  du théorème à démontrer.
Tu peux partir de ce contre-exemple pour construire une preuve générale.

L'autre sens F1 F2 ou F2 F1 F1 F2 est un sev est évident.
Par exemple F1 F2 F1 F2 = F2 et F2 est est un sev
Pareil pour F2 F1.

Après réflexion je viens de comprendre, j'ai négligé la condition initiale qui est que les deux sous espaces sont K-ev ce qui induit forcément une inclusion à cause de l'origine, merci à vous de m'avoir aidé.

AH d'accord j'ai mal interprété je pensais que vous validiez le fait que c'est deux espaces sont bien inclus car ils se croisaient!
Merci de m'avoir éclairé sur ce sujet