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Espace vectoriel
Bonsoir, mon examen approchant à grand pas, il y a encore beaucoup de choses que je ne saisis pas.
1) Par exemple, dans une question on me donne 3 coordonnées de vecteurs et on me demande de trouver parmi ces 3 le vecteur de norme maximal.
Il faut appliquer pour chacun des vecteurs la formule de la norme : rac(x²+y²+z²) et voir lequel a le résultat "le plus grand" ? Par exemple, après avoir appliqué la formule sur chacun des vecteurs, j'obtiens : rac(50), rac(40) et rac(14), donc le vecteur de norme maximal est celui qui a pour norme rac(50) ?
2) On me donne 3 coordonnées de vecteurs et on me demande si ces derniers forment une base R^3.
Est-ce qu'il faut le démontrer en vérifiant qu'il s'agit d'une famille libre et génératrice ou ce n'est pas totalement ce qui est demandé et qu'on peut le montrer plus simplement ?
3) J'ai souvent un exercice qui revient me donnant deux vecteurs et me demandant tous les vecteurs w de norme 1.
Là pour le coup, j'ai beau cherché je ne trouve vraiment pas comment faire.
Pour donner un exercice :
Dans l'espace euclidien R3 (avec son produit scalaire usuel), soient
u= (1; 0; 0) et v = (1; rac(3); 0) deux vecteurs. Trouver tous les vecteurs w tels que ∥w∥ = 1 et tels que w fasse un angle de pi/3 avec chacun des vecteurs u et v.
Désolé du pavé. Malgré mes difficultés, je souhaite réussir, mais surtout comprendre.
Merci d'avance, bonne nuit
Bonjour
Pour le 1) c'est ça, même si on peut se passer de la racine puisque c'est une fonction croissante, elle ne change pas l'ordre, on peut se contenter de comparer x^2+y^2+z^2
Pour le 2), il faut vérifier qu'elle est libre, et ça suffit, puisqu'elle comporte 3 vecteurs
pour la 3) je n'ai pas compris l'énoncé de l'exercice 
Bonsoir
vu qu'apparemment tu es dans un chapitre sur les produits scalaires, pour le 2, il n'est pas exclu qu'on t'ait proposé trois vecteurs non nuls et deux à deux orthogonaux : et ça suffit pour dire qu'ils forment une famille libre, donc une base
Bonjour,
Merci pour ton intervention. Effectivement, après vérification, nous ne sommes pas encore aller jusqu'à le démontrer de cette façon. Pour être sûr et si ça ne dérange pas, pourrais-tu m'en donner un exemple avec les 3 vecteurs suivants, j'ai l'impression d'en faire trop alors qu'on ne m'en demande pas autant :
(1,4,1), (2,2,3), (−1,3,2)
Autre question (désolé ce sujet va être mon habitat pour quelques heures lol):
J'ai vu dans une correction d'exercice qu'on avait :
-V un vecteur normal au plan P
-U un vecteur directeur d'une droite D
Il fallait montrer l'intersection entre les deux en faisant le produit scalaire de V.U afin de voir si ils étaient orthogonaux. Le résultat obtenu est diffèrent de 0, donc V et U ne sont pas orthogonaux. Et c'est la réponse suivante que je n'ai pas compris :
comme ils ne sont pas orthogonaux, la droite D est donc sécante au plan P.
Mais ça ne serait pas plutôt l'inverse ? Etant donné que le vecteur normal appartient au plan, si ce vecteur est orthogonal avec un vecteur directeur appartenant à une droite, forcément il y aura une intersection. Mais si ils ne sont pas orthogonaux, la droite D ne peut pas être sécante au plan, si ?
Pour qu'une famille de 3 vecteurs soit libre, il suffit que n'importe lequel des 3 vecteurs ne soit pas dans le plan engendré par les deux autres (à condition que les deux autres, bien sûr, ne soient pas colinéaires sinon ils n'engendrent pas un plan
Si on prend trois vecteurs non nuls orthogonaux deux à deux, a vérification est immédiate
Quand au vevteur normal au plan, il est orthogonal à tout vecteur du plan, il n'est pas dans le plan
Ou plus simplement, le vecteur normal est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan P, donc à tous les vecteurs d'une base quelconque de P
Merci, ok pour la notion de vecteur normal.
Par contre, pour en revenir à cette histoire de famille libre
si on prend trois vecteurs non nuls orthogonaux deux à deux
Pourrais-tu l'appliquer sur l'exemple que j'ai donné ((1,4,1), (2,2,3), (−1,3,2)), car j'ai l'impression de comprendre autre chose qui est fortement faux.
comment veux-tu appliquer un résultat sur des vecteurs deux à deux orthogonaux avec ton exemple de vecteurs qui ne sont pas orthogonaux 
C'est bien pour ça que cette phrase me perturbait, car de base j'avais constaté que cet exemples de vecteurs n'étaient pas orthogonaux entre eux. Il vaut mieux que je reste sur mon système linéaire pour éviter de m'embrouiller à la veille des exams, on approfondira les choses une fois passé 
J'ai une autre question qui m'embrouille autant que celle qui précède,
On me demande de calculer les coordonnées de vecteurs données par rapport à une base ordonnée. Exemple :
Calculer les coordonnées des vecteurs a = (1,0,0), b = (0,2,1) ∈ R3 par rapport à la base ordonnée u = (4,2,1), v = (3,3,2), w = (1,5,2) de R3.
Si vous pouvez me rafraichir la mémoire, j'en prendrai note d'aussitôt
au revoirJe préfère être sûr quand même...
Pour :
Calculer les coordonnées des vecteurs a = (1,0,0), b = (0,2,1) ∈ R3 par rapport à la base ordonnée u = (4,2,1), v = (3,3,2), w = (1,5,2) de R3.
C'est bien :
On procède par système linéaire (pivot de Gauss), ensuite on trouvera les coordonnées de
Et on fait exactement le même procédé pour b ?
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