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Espace vectoriel

Posté par
barka54
08-04-20 à 19:43

Bonsoir,
J'ai un exercice dont j'aimerais que vous m'aidiez à le traiter.
Enoncé:

Soit F l'ensemble des fonctions de R dans R un espace vectoriel su R ,et G l'ensemble des fonctions impaires une partie de F tel que G={f € F/ pour tout x € R f(-x)=-f(x).
1) Montrer G est un sous espace vectoriel de F sur R.
2) Soit E un espace vectoriel de dimension 2 rapporté à la base (i,;j).on considère les vecteurs e1=2i+3j ; e3=i-2j et e3=4i-5j
a) Montrer que ces trois vecteurs forment un système linéairement dépendant.
b) Montrer que e1 et e2 forme une famille génératrice.
c) montrer que e1 et e2 forme une base.
d) determiner les coordonnees de e3 dans la base (e1;e3).

Ma piste:
1) Je sais qu'un ensemble E est un sous espace vectoriel si :
-il est non vide,
-quelque soit a, b appartenant à cet ensemble, a+b € E
-et en plus , alpha(réel)*a € E.

mais je ne vois pas en quoi cette propriété du cours peut m'aider ici.... aurez-vous une piste à m'indiquer?

Posté par
Zormuche
re : Espace vectoriel 08-04-20 à 20:04

Bonjour

Soit f et g deux fonctions de F et G, donc vérifiant pour tout x réel : f(x)=-f(-x), et g(x)=-g(-x)

Est-ce que la fonction h = f+g appartient à G ?

est-ce que la fonction a*f où a est un réel, appartient à G ?

Posté par
alma78
re : Espace vectoriel 08-04-20 à 20:11

Bonjour,
Est ce que G est non vide ?
Pour cela, il suffit de donner une fonction impaire.

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 08-04-20 à 20:26

* h=f+g= f(x)+g(x)=-f(-x)-g(-x)
=-[f(-x)+g(-x)]
=-[-f(x)-g(x)
=f(x)+g(x)

ça peut aller?

Posté par
Zormuche
re : Espace vectoriel 08-04-20 à 20:37

tu ne peux pas écrire f+g = f(x)+g(x), mais la suite de ton raisonnement est bon
tu as montré que -h(-x) = h(x) pour tout x

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 08-04-20 à 20:55

Zormuche @ 08-04-2020 à 20:37

tu ne peux pas écrire f+g = f(x)+g(x), mais la suite de ton raisonnement est bon
tu as montré que -h(-x) = h(x) pour tout x
Du coup, je peux donc conclure que f+g € F !?

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 08-04-20 à 20:56

Zormuche @ 08-04-2020 à 20:37

tu ne peux pas écrire f+g = f(x)+g(x), mais la suite de ton raisonnement est bon
tu as montré que -h(-x) = h(x) pour tout x
okay.

Du coup, je peux donc conclure que f+g € F !?

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 10-04-20 à 17:18

s'il vous plaît pouvez vous m'aider à montrer que G est un sous espace vectoriel de F sur R?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Espace vectoriel 11-04-20 à 08:57

Bonjour,
Tu as déjà eu de l'aide

Citation :
Est ce que G est non vide ?
Pour cela, il suffit de donner une fonction impaire.

Tu n'as pas donné suite.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Espace vectoriel 11-04-20 à 08:59

Tu es en 1ère S en France et on te parle de sous espace vectoriel ?

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 11-04-20 à 13:41

Sylvieg @ 11-04-2020 à 08:57

Bonjour,
Tu as déjà eu de l'aide
Citation :
Est ce que G est non vide ?
Pour cela, il suffit de donner une fonction impaire.

Tu n'as pas donné suite.

Je donne par exemple une fonction impaire qui est : g(x)=-g(-x)

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 11-04-20 à 13:43

Sylvieg @ 11-04-2020 à 08:59

Tu es en 1ère S en France et on te parle de sous espace vectoriel ?

Juste un aventurier en math, sinon en réalité c'est hors programme de la Père S.

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 11-04-20 à 14:59

Zormuche @ 08-04-2020 à 20:37
tu as montré que -h(-x) = h(x) pour tout x[/quote


Donc on conclut que h qui est la somme de deux fonctions impaires est impaire.
Je n'avais pas bien vu cette réponse!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Espace vectoriel 11-04-20 à 16:48

Citation :
Je donne par exemple une fonction impaire qui est : g(x)=-g(-x)

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 11-04-20 à 18:15

Soit f et g deux fonctions impaires , c'est-à-dire appartenant à G.
La somme de ces fonctions est :
f(x)+g(x)= -[f(-x)+g(-x)]
En notant h comme cette somme, on a :
f(x)+g(x)=-h(-x)
???

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 11-04-20 à 18:19

je constate que h est une fonction impaire.
par conséquent f(x)+g(x) est impaire, donc il appartient à notre ensemble G
Ça peut aller?

Posté par
Zormuche
re : Espace vectoriel 11-04-20 à 18:47

Oui, ensuite il faut vérifier a*f où a est un réel

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 11-04-20 à 20:21

On a :
f(x)=-f(-x)
a*f=a[-f(-x)]
      =-a*f(-x)
      Or f(-x)=-f(x) car elle est impaire.
a*f=a*f(x)
, puis-je écrire que f(x)=f(x) ce qui
est vrai (1=1) donc l'égalité est vérifiée?
Et ensuite que a*f € G ?

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 12-04-20 à 15:19

Salut,
Pourla question 2-a, où on demande de montrer que ces trois vecteurs forment un systeme linéairement dépendant, je pense qu'on pourra déterminer les réels x et y tel que xe1+ye2=e3.
D'autres parts, on montre montre qu'ils sont colinéaires.
Est-ce une bonne piste?

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 12-04-20 à 16:03

En procedant de cette façon, on a:
x\vec{e_{1}}+y\vec{e_{2}}=\vec{e3} \; <==> x(2;3)+y(1;-2)=(4;-5)
Je forme le système :
2x + y=4
3x-2y=-5

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 12-04-20 à 16:05

En resolvant, je trouve x=3/7
y=22/7.

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 16-04-20 à 11:15

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 16-04-20 à 11:36

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Espace vectoriel 16-04-20 à 11:39

Tu n'as jamais justifié G non vide. Ceci n'est pas une justification :

Citation :
Je donne par exemple une fonction impaire qui est : g(x)=-g(-x)


Citation :
Juste un aventurier en math, sinon en réalité c'est hors programme de la Père S.
Vu tes difficultés dans d'autres exercices ( exercice sur les boules), et les mélanges que tu fais ici, je te conseille d'abandonner le hors programme.

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 17-04-20 à 08:23

Pour montrer que G est non vide, je peux considerer l'élément neutre 0 qui est un réel et je verifie l'équation qui résulte du calcul de son image.
Ainsi, avec la fonction g(x)=-g(-x)
On a : g(0)=-g(-0)
===> on sait qu'une fonction impaire a pour centre  de symetrie l'origine du repère de coordonnées(0;0). Ainsi l'image
de 0 par g se trouvant dans ce repère est toujours 0.

Il s'ensuit donc que g(0)=-g(0)
==> g(0)=g(0)
==> 0=0
Donc on peut dire que  l'ensemble G contient au moins l'élément E=0 ...par conséquent , il n'est donc vide.

Vu que l'ensemble d'étude est non vide, la somme de ses deux éléments l'appartient, ainsi que le produit d'un de ses éléments par un réel alpha, on conclut que c'est un sous espace vectoriel.

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 17-04-20 à 08:24

Bonjour....

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Espace vectoriel 17-04-20 à 08:42

Bonjour,
Pour montrer que E est non vide, il suffit de vérifier que le "vecteur nul" de l'espace vectoriel F, ensemble des fonctions de R dans R , est un élément de E.
Il aurait été bien de préciser les lois pour l'espace vectoriel F.
Quel est la vecteur nul de l'espace vectoriel F ?
C'est une fonction.
Alors arrête d'écrire n'importe quoi, ou laisse tomber.
Et concentres-toi sur des notions de ton niveau.

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 17-04-20 à 18:25

Sylvieg @ 11-04-2020 à 08:59

Tu es en 1ère S en *** Cameroun***et on te parle de sous espace vectoriel ?
Cameroun.

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 17-04-20 à 18:29

Sylvieg @ 17-04-2020 à 08:42

Bonjour,
Pour montrer que E est non vide, il suffit de vérifier que le "vecteur nul" de l'espace vectoriel F, ensemble des fonctions de R dans R , est un élément de E.
Il aurait été bien de préciser les lois pour l'espace vectoriel F.
Quel est la vecteur nul de l'espace vectoriel F ?
C'est une fonction.
Alors arrête d'écrire n'importe quoi, ou laisse tomber.
Et concentres-toi sur des notions de ton niveau.
Le vecteur nul de l'espace est bien (0;0;0)  dans le cas où nous sommes dans un repère du genre ( A, ;; )

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Espace vectoriel 17-04-20 à 18:34

Non, F est un ensemble de fonctions.
Le vecteur nul de l'espace vectoriel (F ; + ; .) est la fonction constante nulle.

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 17-04-20 à 19:18

Okay, j'en sais vraiment pas grand chose sur ce type de fonction... Je sais ce que sais une fonction constante. Je pense que'une fonction constante nulle est confondue à l'un des axes du repère... Est ce vrai?

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 17-04-20 à 19:23

Je parlais de l'axe des abscisses.  L'expression de f peut-il être f(x)=0 ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Espace vectoriel 17-04-20 à 20:56

Tu confonds fonction avec courbe représentative d'une fonction.
La fonction constante nulle sur , est la fonction qui à tout réel x associe le réel 0.

Plutôt que continuer dans ce sujet qui n'est pas à ta portée, je te conseille de chercher dans l'île des sujets de dénombrements de ton niveau, et d'étudier les échanges.
Tu peux les réactiver en posant des questions à la suite de leurs messages.

Posté par
barka54
re : Espace vectoriel 17-04-20 à 22:02

okay comme vous le dites.
^_^ Bonne soirée à vous!



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