Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Espace Vectoriel
Bonjour à toutes et à tous !
Exo : Dans l'espace vectoriel E ={P ∈ R3[X] : P(1) = 0 } la famille A= ( X−1, (X−1)², (X−1)^3 )
Est-elle une famille libre ? Est-elle génératrice de E ? Est-ce une base de E ? Déterminer le
sous-espace engendré par cette famille, et donner le rang de la famille.
Voici ce que j'aie fait :
Vérifions si la famille A est libre. Dire que A est une famille libre, c'est dire que pour tout b1, b2, b3 € IRb b1(X−1) + b2(X−1)² +b3(X−1)^3=0 ---> b1=b2=b3=0
Après calcul, j'ai obtenu que b1=b2=b3=0 donc A est une famille libre.
Vérifions si la famille A est génératrice de E.
A est génératrice de E revient à dire que pour tout P € E, il existe b1, b2, b3 € IR/
P(X)=b1(X−1) + b2(X−1)² +b3(X−1)^3. J'ai posé P(X)=aX^3+bX^2+cX+d
Après calcul, je trouve que cela est vrai ssi a+b+c=-d(j'ai envie de conclure que A n'est génératrice de E mais j'arrive pas à trouver un contre-exemple).
Pour la 3ème et 4ème question , j'ai pas bien compris.( je remarque que (X−1)^3=(X-1)(X-1)²)
Je vous remercie d'avance pour vos guides !
Bonjour,
je trouve que cela est vrai ssi a+b+c=-d
mais ça c'est acquis puisque dans la définition de E, il y a P(1)=0
DOMOREA, tu devrais lire l'énoncé plus attentivement.
L'énoncé demande si la famille est génératrice du sous-espace
de
formé des polynômes
tels que
. C'est ce qui est écrit dans le premier message de ce fil.
Donc la famille A est génératrice.
Elle forme une base de E puisqu'elle est à la fois libre et génératrice. Le rang de la famille est 3.
Maintenant, je ne sais pas comment déterminer le sous-espace engendré par cette famille.
Mercipour votre réponse 😊
Donc la famille A est génératrice.
Elle forme une base de E puisqu'elle est à la fois libre et génératrice. Le rang de la famille est 3.
Maintenant, je ne sais pas comment déterminer le sous-espace engendré par cette famille.
Mercipour votre réponse 😊
sais-tu ce que signifie "engendré" et "génératrice" ?
Sous-espace engendré le plus petit sous-espace vectoriel de E qui contient A.
Je ne sais pas comment le faire après !
bonjour
c'est du français, là ! forme passive, forme active
forme active : la famille engendre l'espace, la famille est génératrice de l'espace
forme passive : l'espace est engendré par la famille
c'est vrai que les journaleux nous corrompent l'oreille, à toujours utiliser de l'anglicisme "générer" au lieu de notre verbe "engendrer", ça n'aide pas ....
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac