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Espace vectoriel
Bonjour, j'espère que vous allez bien. J'ai une petite question par rapport à la définition d'un espace vectoriel.
Partant de la définition d'un sous espace vectoriel qui est :
Une partie F de E est un sous-espace vectoriel de E si :
F est non vide (au moins contient 0)
Pour tous 𝛼,𝛽∈𝐾 et tous x,y ∈F , on a 𝛼𝑥+𝛽𝑦 ∈ 𝐹 αx+βy∈F (stabilité par combinaison linéaire).
Pourrez t on également redéfinir un espace vectoriel ( d'autant plus que un sous-espace vectoriel peut être vu dans une certaine mesure comme un espace vectoriel) ? Cad:
Un ensemble 𝐸 est un 𝐾-espace vectoriel s'il est non vide et si, pour tous 𝛼,𝛽∈𝐾, pour tous 𝑥,𝑦 ∈ 𝐸, la combinaison linéaire αx+βy appartient encore à 𝐸
Cela garantit que 𝐸 est stable par les opérations de l'espace vectoriel (addition et multiplication par un scalaire), ce qui est une des conditions fondamentales pour qu'il soit un espace vectoriel.
Merci d'avance pour tous éclaircissements 
Bonjour,
Une définition d'un espace vectoriel : 
Espaces vectoriels - Applications linéaires
Quand on parle d'un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel (E,+, .) on a déjà les opérations.
Quand on parle d'un espace vectoriel, on ne devrait pas se contenter d'écrire E ; on devrait écrire (E,+, .).
Bonjour aua et salut sylvieg.
Ta question n'a pas beaucoup de sens! Si tu as un ensemble E, un corps K et si tu as défini une loi interne + et une loi externe , les combinaisons linéaires sont forcément dans E. Ceci ne garantit pas que ces lois vérifient tous les axiomes d'un espace vectoriel.
Par exemple, cas limite et un peu bête, si tu prends (habituel) et
, si tu définis + comme d'habitude, et si tu poses
tu n'as pas un espace vectoriel. (Pourquoi? qu'est-ce qui cloche?)
Bonjour aua et salut sylvieg.
Par exemple, cas limite et un peu bête, si tu prends
On a pas un espace vectoriel parce que la relation
*(x1,2)=(x1,x2) n'est pas respecté Bonjour,
Une définition d'un espace vectoriel :
Espaces vectoriels - Applications linéaires
Quand on parle d'un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel (E,+, .) on a déjà les opérations.
Quand on parle d'un espace vectoriel, on ne devrait pas se contenter d'écrire E ; on devrait écrire (E,+, .).
Oui c'est vrai, j'avais pas pris en compte le groupe commutatif et quelques opérations de la loi externe qui ne sont pas pris en compte par cette combinaison linéaire
Merci
On a pas un espace vectoriel parce que la relation
*(x1,2)=(x1,x2) n'est pas respecté l'espace E n'est pas muni d'une loi externe
Bonsoir
c'est bien une loi externe
la relation n'est pas une des conditions pour être un espace vectoriel
Mais si tu regardes les vraies conditions sur la loi externe pour être un ev, tu verras que celle-ci n'en respecte aucune (par exemple distributivité, multiplication par le scalaire neutre etc.)
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