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Espace Vectoriel-Algebre
Bonjour, je travaille sur un probleme d'algebre et quelques questions me posent problème.
Soit E un espace vectoriel. On note Ak(k réel donné) l'ensemble des endomorphismes de E satisfaisant u²=ku.
Soit u appartenant à Ak.
1.A quelle condition sur k existe t-il des éléments inversibles dans A? Les determiner.
Je ne sais pas ce qu'est un élément inversible.
2.On montre que pour x dans Im(u), u(x)=kx
3.Soit k réel non nul et u et v des élements de Ak.
a.J'ai montré que (u o v+v o u= 0) =>(u o v= v o u=0) o= rond
b. J'ai montrer que: u+v appartient a Ak <=>(u o v = v o u =0).
c.Montrer que dans ce cas, Im(u+v)=Im(u)+Im(v). J'ai montré l'inclusion de gauche à droite mais l'autre je bloque
d.Montrer que dans ce cas, Ker(u+v)= Ker(u)
Ker(v). J'ai démontré l'inclusion de gauche à droite mais pas l'autre.
4.On Suppose u o v=v o u (sans imposer l'égalité avec 0). Montrer qu'il existe m appartenant a R tel que u o v appartient à Am.
Voila,pour résumer la question 1 me pose problème, la 2.c,2.d et 4.
Pourriez vous m'aider? Merci beaucoup 
Bonjour Laurierie
Tu dis ne pas savoir ce qu'est un élément inversible. Tu n'as pas fait les groupes : ça m'étonnes.
Dans le cas qui nous intéresse, u est inversible (implicitement pour la loi o) s'il existe v un endomorphisme de E verifiant uov=vou=Id.
Kaiser
Salut Kaiser.
Non je n'ai pas fais les groupes: nous avons fait 3 chapitres d'algebre: les Espaces vectoriels(+ application linéaire), Espace Affine, et Espace vectoriel en dimension fini.
Merci pour la définition
).Soit z un élément de Im(u)+Im(v), donc il existe des éléments x et y de E vérifiant z=u(x)+v(y).
On a donc (on a le droit car k est non nul)
En utilisant le fait que uov=vou=0, alors on a aussi ce qui affirme que z est un élément de Im(u+v), ce qui montre l'inclusion inverse.
A l'avant-dernière ligne, la seconde égalité est un peu confuse.
Je voulais écrire : (il manquait des parenthèses).
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