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Espace vectoriel de dim finie
Bonjours, j'ai un problème dont la résolution m'est un peu difficile, voici l'énoncé:
Soit E un espace vectoriel de dim finie n sur R et u un endo de E.
1-Soit 
1,...,r des valeurs propres 2 à 2 distinctes de u, E1,...,Er les se propres resp. associés et 
i=1,...,r, i
0 un élément de Ei.
Montrer que:
a- l'ensemble V1,...,Vr est libre
b- la somme E1,...,Er est directe.
Pour les abréviations:
se: sous-espace ; dim: dimension; endo: endomorphisme.
SVP aidez-moi à résoudre ce problème.J'en serai reconnaissant.
en utilisant le méthode de démonstration par récurrence et la définition de "famille libre" !
initialisation : si r=1 ...
Bonjours, je ne suis pas avancé dans l'exercice voici ce que j'ai eu à faire:
Soient a1,a2,....,ar les réels pour montrer que c'est vecteurs sont libres, je dois montrer que:
ai, i=1,....,r , aiVi=0
ai=0,
Par récurrence sur l'espace vectoriel de dim=n
Pour n=1 on a1V1=0a1=0 la relation est triviale.
Comment faire maintenant pour terminer?
par récurrence sur r.
Supposons V1...Vp libre ,p<r
Si Vp+1etait lié aux autres vecteurs alors Vp+1=a1V+...+apV
En appliquant l'endom. u a chaque membre on obtient:
p+1Vp+1=1a1V+...+
papV puis chager dans cette égalité Vp+1 en a1V
+...+apV
En regroupant tout dans un même membre la conclusion devient simple
Salut Yusufa,
Bah voila, je pense qu'alexre t'as bien expliqué.
Par contre tu t'emmêles un peu trop dans tes notations et ca va pas t'aider pour la suite, au contraire même.
Enfin, je ne vais pas te ressortir tout ce que t'as écrit mais surtout évite de confondre les variables muettes avec celles qui ne le sont pas (par exemple est défini, et c'est ici la dimension de E tu ne peux donc pas l'utiliser comme indice variable dans ta récurrence(à la limite hors de ta récurrence pour faire plusieurs cas, mais c'est tout)).
Enfin bref, ca c'est pour toi (et pour tes copies 
).
Ah et quand tu veux montrer que la famille de vecteurs est libre (d'ailleurs les vecteurs sont lineairement independants et pas libres, c'est la famille qui est libre, mais bon c'est du detail), ca n'est pas : comme t'as dit, mais :
Ce qui n'est quand même pas la même chose.
Enfin voila, à la limite si tu ne dois retenir qu'une chose de mon baratin c'est la formule de la fin .
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