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Espace vectoriel et injectivité
Bonjour/Bonsoir,
Je voudrais avoir votre avis sur un exercice étoilé :
Enoncé :
E un K ev et g ∈L(E), soit
φ définit de L(E) vers L(E) tq quelque soit f ∈ L(E) φ(f)=gof on φ app linéaire
(On admettra que dans un ev tout sev admet un supplémentaire )
Montrer que φ est injective <=> g est injective
Montrer que φ est bijective <=> g est bijective
Ma démonstration
Première implication soit x,y∈ E tq
g(x)=g(y) et on a g(x)=g(y)=φ(x)=φ(y) et comme φ injective
donc x=y alors g injective
Deuxième implication :
Soit x,y∈ E tq
φ(x)=φ(y) et x=f(x') et y=f(y')
gof(x')=gof(y')
g(x)=g(y)
et on a g injective alors x=y d'ou φ injective .
(Je voudrais savoir où ma démonstration faille avant de passer à la bijective car je crois l'avoir résolu facilement alors que ce dernier est un exercice étoilés)
Bonsoir,
Non, ça ne va pas.. Ton avec
n'a pas de sens :
prend en entrée un endomorphisme de
(pas un élément de
!!!) et retourne en sortie un endomorphisme de
.
Bonsoir,
Non, ça ne va pas.. Ton
La deuxième implication reste-t-elle juste ?
Deuxième implication :
On suppose que φ injective
Soit x,y dans E tq :
g(x)=g(y) avec x=f(x') et y=f(y')
g(f(x'))=g(f(y'))
d'où f(x')=f(y') car φ injective
x=y alors g injective
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