Bonsoir,

Qu'est-ce qui t'arrête au juste ?

As-tu compris la question ?

Que signifie "être stable par addition" ?

Que signifie "être stable par multiplication" (par un scalaire je présume) ?

Quelle est la définition de "fonction croissante au sens large" ?

Si tu sais répondre précisément à toutes ces questions, tu devrais arriver à traiter le 1.

Alors stable par addition : en additionnant deux éléments quelconque (dans notre cas, deux fonctions croissantes) de l'ensemble A, le résultat de cette addition appartient toujours à ce même ensemble A (soit une fonction croissante). ( f,g A , f+g A )
De même pour la multiplication, en multipliant une fonction de l'ensemble A par un scalaire (appartenant à ), le résultat appartient toujours à A (cette fonction reste croissante) => f A, on a f A. Mais ce qui ne semble pas être le cas vue qu'en multipliant par un scalaire négatif, on obtiendrait une dérivée négatif, et donc une fonction décroissante...

définition d'une fonction croissante : f'>0 ou encore x<y => f(x)<f(y). Maintenant je dirai que c'est au niveau de la rédaction de la démonstration qui me pose un peu probléme =)

Bonjour,
la définition d'une fonction croissante est que la dérivée est négative???????????????????????

L'idée de multiplication par un négatif est bonne. Cela dit, l'histoire de la dérivée en a pas mal moins.
Aussi, pour montrer qu'un résultat est faux, il suffit d'exhiber un (contre-)exemple, Tu devrais essayer d'en construire un.

fonction décroissante, pardon.

J'aurai besoin d'une petite correction (concernant la stabilité par addition):

Soit f,g A (qui je rappelle est l'ensemble des fonctions croissantes) on a donc :

f(x) < f(y) et g(x) < g(y) -> g(x) + f(x) < g(y) + f(y) -> (g+f)(x) < (g+f)(y)
d'où A est stable par addition.

Juste ? ^_^' (avec tout le scepticisme du monde...)

quant à la stabilité par multiplication, je vais démontrer ça directement avec les dérivées.

Pour la multiplication, je n'utiliserai même pas la dérivée, comme tu m'as conseillé un contre exemple suffirait largement ici, en multipliant par un scalaire négatif (-1) l'inéquation sera inversé, merci

Oui, mais exhibe une fonction qui est dans l'espace de départ et qui, une fois multipliée par un nombre négatif que tu exhibes (-1 comme tu proposes) n'est plus dans l'espace de départ.

Quelle fonction te vient en tête?

C'est vraiment évident, mais il faut exhiber, c'est ça un contre exemple et c'est une façon rigoureuse de terminer le problème.

Pour la dérivée, fais attention, il existe des fonctions non dérivables, d'où ma remarque...

Pourquoi pas f(x) = x ?
(-1)*f(x) = -x, fonction décroissante et donc n'appartient pas à notre ensemble de départ A.

Une nouvelle question (qui m'est venue en parcourant ma série d'exercice ^^) : Que sous entend par sous ensemble constitué des fonctions monotones (croissantes ou décroissantes, au sens large). Je n'arrive pas à poser de définition dessus, et donc vérifier la stabilité de ce sous ensemble par addition, ou multiplication)

Sous ensemble des fonctions monotones comprend les fonctions croissantes et les fonctions décroissantes.

Là encore j'ai des doutes quant à la stabilité.

f(x)=x^2 et g(x)=-x sur R+

et f(x)+g(x) n'est ni croissante ni décroissante sur R+

Ok merci pour votre aide