Bonjour,
Personnellement je serais tenter de passer par le calcul matriciel.

dans la base canonique de R3[X] ces vecteurs s'écrivent:
A=1.1+0.X+0.X²+0.X³
B=(1-x)=1.1+(-1).X+0.X²+0.X³
C=(1-x)²=1.1+(-2).X+1.X²+0.X³
D=(1-x)³=1.1+(-3).X+3.X²+(-1).X³

d'où la matrice des vecteurs A,B,C,D dans la base canonique de R₃[X] (c'est sans doute mal dit)

1 0 0 0
1 -1 0 0
1 -2 1 0
1 -3 3 -1

Matrice triangulaire de déterminant non nul donc le système {A,B,C,D} forment une base de R₃[X](car un isomorphisme transforme une base en une base)

Salut

Merci dad97,
Ca éclaire en plus sur d'autres choses, et la méthode est très "sympa" car simple et efficace.
Cependant, celle que j'ai utilisée est fondée sur ce que j'ai compris, car, malgré mon grand age, je débute seulement dans le domaine. Donc, je ne voudrais pas abuser, mais j'aurais bien aimé savoir si ce que je propose est correct.
Merci
Et en plus, quand on cherche un peu dans ce forum, on trouve plein de choses super-intéressantes

Rebonjour Satchmo,

Ta méthode pour montrer que c'est un système générateur débute bien.
En fait ce qu'il faut que tu démontres c'est que tes n1, n2, n3 et n4 tu peux les exprimés de ma nière unique en fonction de a et b donc il faut continuer ta résolution de système (il est juste )
a=n1+n2+n3+n4
b=-n2-2n3-3n4
c=n3+3n4
d=-n4

donc
n4=-d
n3=c+3d
n2=-b-2c-3d
n1=a+b+c+d

donc par ce système on a bien montré que pour n'importe quel élé ments de R3[X] on sait l'exprimé comme une combinaisaon linéaire de A B C D.

(comme cette écriture est unique peut être que l'on peut dire que l'on a une base, à vérifier ça fait longtemps que j'ai pas fait d'algèbre linéaire)

(comme R3[X] est de dimension 4 on doit avoir une théorème qui parle de famille génératrice minimale=base, à vérifier aussi )

Par contre tu as écrit :
"On voit que N(x) ne peut être égal à 0 que si n1=n2=n3=n4=O, donc système libre"

je t'assure que l'on voit (ou que l'on croit voir ) beaucoup de choses en maths mais malheureusement c'est pas seulement avec les yeux qu'on démontre une propriété.

En fait pour montrer que c'est un système libre il faut partir de ;
N(x)=n1A+n2B+n3C+n4D=0
et aboutir à n1=n2=n3=n4=0

mais c'est relativement immédiat car en développant on tombe sur un système que l'on connait ;

0=n1+n2+n3+n4
0=-n2-2n3-3n4
0=n3+3n4
0=-n4
et forcément on obtient ce que l'on veut

Mais creuse plutôt les deux trucs à vérifier dont j'ai parlé plus haut cela raccourci la démonstration et je suis à 99% sûr de mes affirmations.

Voilà

salut

euh j'ai écris à la troisième ligne "de manière unique " c'est faux (sinon tu as montré que c'est une base) il suffit de trouver une décomposition sur A B C D de N(X) qui marche pour que ce soit générateur.

Désolé, mais je devrais me relire plus sérieusement avant de poster.

Salut

Re-bonjour, (vu l'heure)
Dans les cours que j'ai, j'ai compris qu'une famille est une base si elle est génératrice ET si c'est un système libre. Je ne connais pas le théorème de la famille génératrice minimale, mais je vais chercher.
Pour info, j'avais pas tout écrit. Pour la première partie, il faut effectivement "finir" le système.
Pour le second système, je l'avais au brouillon mais je ne voulais pas "charger" le post. J'le f'rai plus !
Grand merci à toi (et aussi à tous les autres) , je me sens moins seul ,.
Bonne nuit (je vais me coucher
A+

Bonjour à tous (les deux?),

en pleines révisions de partiels, je confirme:

- une famille génératrice minimale (dim(famille)=dim(E)) est une base de E
-une famille libre maximale (dim(famille)=dim(E)) est une base de E.

pour élargir les idées: si on ajoute un vecteur à une base d'un ev E alors la famille est liée et si on en retire un alors elle n'est plus génératrice.

A votre service!

En effet, une famille libre de n vecteurs dans un espace de dimension n est une base, et de même, une famille génératrice de n vecteurs dans un espace de dimension n est une base