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espace vectorielle

Posté par nick (invité) 03-05-05 à 00:53

Bonjour comment montrer que ((3,2),(2,3)) forme une base de R^2
Et comment déterminer la dépendance de (3,2) (4,-1) (5,-2). Merci.

Posté par
Nightmarere : espace vectorielle 03-05-05 à 12:43

Bonjour

Pour montrer que ta famille F=((3,2),(2,3)) forme une base de \mathbb{R}^{2} il te faut montrer :


  • F est libre

  • F est génératrice de \mathbb{R}^{2}



a)montrer que F est libre
Supposons qu'il existe un couple 3$\rm(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^{2}) tel que :
\alpha(3,2)+\beta(2,3)=0
Alors , ce couple vérifie le systéme :
3$\rm\{{3\alpha+2\beta=0\\2\alpha+3\beta=0}\

je te laisse continuer en montrant que ce systéme admet pour unique solution (0,0) et donc que F est libre

b)montrer que F est génératrice de \mathbb{R}^{2}
Ici , il s'agit de montrer que pour tout élément (x;y) de \mathbb{R}^{2} , il existe un couple (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^{2} tel que :
x=\alpha(3,2)+\beta(2,3)

Il s'agit donc de montrer que quelque soit le couple (x;y) , le systéme d'inconnue (\alpha,\beta):
\{{2\alpha+3\beta=x\\3\alpha+2\beta=y
admet au moin une solution

Je te laisse montrer cela ( avec les matrices c'est vite réglé en montrant que \begin{pmatrix}2&3\\3&2\end{tabular} est inversible )

Pour déterminer la dépendance de ta deuxiéme famille , tu procéde comme en a) . Si le systéme admet au moin une solution non nulle alors ta famille est liée . Si a l'inverse , ton systéme admet pour unique solution le vecteur nul alors ta famille est libre


jord

Posté par nick (invité)re : espace vectorielle 03-05-05 à 18:26

merci

Posté par
Nightmarere : espace vectorielle 03-05-05 à 18:39

De rien

Posté par nick (invité)re : espace vectorielle 03-05-05 à 21:41

J'ai encore ne autre question sur le mêe sujet.
Le professeur aborde à un moment dans le cour l'extraction d'une base d'une famille de vecteur avec la méthode du pivot de gauss. Je n'ai pas vraiment compris.
Par exemple comment extraire une base de l'ev de R^4 généré par:
a_1=(1,2,2,1) a_2=(5,6,6,5) a_3=(-1,_3,4,0) a_4=(0,4,-3,-1)
Merci d'avance.

Posté par
Nightmarere : espace vectorielle 03-05-05 à 22:54

Re

Hum sans grande conviction (je suis tout nouveau dans l'étude des espaces vectoriels )

Notons E ton sev de \mathbb{R}^{4} généré par la famille 2$\rm F=(a_{i})_{i\in[|1,4|]} .

Trouver une base de E revient à extraire de F une famille libre ayant le plus grand cardinal .

Rappellons que F est libre si et seulement si :
3$\rm \forall(\lambda_{1},...,\lambda_{4}\)\in\mathbb{R}^{4} , \(\displaystyle\sum_{i=1}^{4} \lambda_{i}a_{i}=0\Longrightarrow \(\forall i\in\{1,....,4\} , \lambda_{i}=0\)\)

résolvons alors le systéme :
\{{\lambda_{1}+5\lambda_{2}-\lambda_{3}=0\\2\lambda_{1}+6\lambda_{2}+3\lambda_{3}+4\lambda_{4}=0\\2\lambda_{1}+6\lambda_{2}+4\lambda_{3}-3\lambda_{4}\\\lambda_{1}+5\lambda_{2}-\lambda_{4}=0

On trouve :
\(\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3},\lambda_{4}\)=\(0,0,0,0\)

Ainsi F est libre donc :
\(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\) est une base de E

Le probléme est que je ne sais pas trop ce que vient faire Gauss dans l'histoire , peut-être pour résoudre le systéme


jord

Posté par
Ykroxorre : espace vectorielle 05-05-05 à 09:00

Pour : "montrer que ((3,2),(2,3)) forme une base de R^2 " tu peux aussi remarquer que dim R^2=2 et ta famille a deux vecteurs, tu n'as donc plus qu'une seule propriété à vérifier entre famille libre ou generatrice.
___________
Par exemple comment extraire une base de l'ev de R^4 généré par:
a_1=(1,2,2,1) a_2=(5,6,6,5) a_3=(-1,_3,4,0) a_4=(0,4,-3,-1).
____
Notons F=(a_1,a_2,a_3,a_4).
Représente la matrice de F dans la base canonique de R^4. Le but de la méthode de Gauss est d'obtenir une réduite, c'est à dire une matrice dont chaque ligne commence par un coefficient placé à un endroit différent, (échelonnée quoi.)
                   10000
                   00100 est par exemple échélonnée.
                   00001
mais 00001
     00002 ne l'est pas tu dois encore annulé le 1 ou le 2.
Pour obtenir une matrice échélonnée tu appliques la méthode du pivot de Gauss qui consiste à faire des combinaisons linéaires des lignes pour te ramener à une matrice de cette forme.
Une fois que tu y arrives, tu prend le rang de cette matrice, c'est à dire que tu "comptes" le nombre de ligne qui ne sont pas des lignes de 0. Il te reste alors à selectionner une matrice de même rang que ta matrice, par exemple si elle est de rang 2 tu prend 2 colonnes qui forment une matrice de rang 2. Tu regardes à quoi correspondent ces colonnes et tu "recupères" les vecteurs que tu avais dans la matrice de départ. Ces vecteurs forment une base.
Désolé si c'est un peu confus, esasye de faire un schéma sinon ca t'aidera à comprendre


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