Bonsoir,

la famille {cos(x);sin(x)} est elle libre ou liée ?
Soit la combinaison linéaire suivante :
a.cos(x)+b.sin(x)=0 vrai pour tous réels x

Donc en particuliers :
a.cos(0)+b.sin(0)=0 d'ou a.1+b.0=0 soit a=0

Ou encore :
a.cos()+b.sin()=0 d'ou a.0+b.1=0 soit b=0

On a donc a=0 et b=0.

Je te laisse conclure.

si Asin(x)+Bcos(x)=0  pour tout x
prenons x=0  on a B=0
prenons x=pi/2  on a A=0
donc sin et cos forment une famille libre.

on a le droite de prendre des valeurs pour x?? ici c'est clair que si on prend x=0, a=b=0 marche!!
j'avais pensé à ça mais je ne savais pas si j'avais le droit de prendre des valeurs pour x

désolé H_aldnoer j'avais pas vu ton post précédant ...

merci à vous 2 , ma premiere idée était la bonne mais je le pensais hyper fausse,mais en fait non!lol

c'est pas grave Youpi.

Bonsoir gtaman.
D'abord,il faut que tu saches qu'il s'agit d'un espace vectoriel. Cela étant, d'après ce que tu signales, tu as déjà travaillé sur des espaces vectoriels dont les objets sont des couples de réels : type (x,y), c'est l'espace R², ou sur des triplets de réels : type (x,y,z), c'est l'espace . Lorsque tu travailles avec les fonctions sin et cos, c'est une tout autre affaire : c'est l'espace vectoriel des applications de R dans R.
Pour prouver que f = sin et g = cos forment une famille libre, il faut considérer deux réels a et b et étudier af + bg = O (application nulle).
Ceci entraine : pour tout réel x : af(x)+ bg(x) = 0 (le réel 0)ou : asin(x) + bcos(x) = 0.
Comme le "a" et le "b" ne dépendent pas de x, tu peux choisir ce que tu veux pour x.
Si x = 0, on trouve b = 0, si , on obtient a = 0. Donc les applications sin et cos forment une famille libre.
Cordialement RR.

merci  bien raymond pour ce complément

juste pour voir si j'ai bien compri

soient sin(x) et sin²(x)
si on prend x=0 la somme fait 0 donc c'est une familler liée!
j'ai raison??

Non, il faut que tu montres que :



Donc tu supposes que Asin(x)+Bsin^2(x)=0
et tu dois alors si ça implique que A=B=0

Nicoco

salut

non ^^


pour que sa soit lié il faudrait qu'il existe a et b telle que

a*sin (x ) + b*sin² (x ) = 0 POUR TOUS X.

sinon n'importe qu'elle couple de fonction est lié : f(x)g(0) - g(x)f(0) est nul en x=0 ...

je prend en + et - Pi/2 et je trouve a=b=0

liée c'est pour tout x alors que libre non ??

ba sa depend ^^


(f,g) est libre signifie que

, a*f+b*g = 0 (implicitement, pour tous x si on parle de fonction) alors a=0 et b=0

donc, montré qu'un couple de fonction est libre c'est : on suppose que pour tous x a*f(x)+b*g(x) = 0, et on doit montrer que a= 0 et b=0, l'hypothese est un "pour tous x" donc on peut l'appliquer (et meme on doit) a des valeur particulière de x,

montré que c'est lié c'est montré qu'il existe a et b non tous nul, telle que pour tous x a*f(x)+b*g(x) = 0

au passage quand tu a un couple, dire que c'est liré sa revient a dire aligné (ie f =k*g k reel... enfin dans ton corps de base) mais sa se complique dans tu a une famille de plus de deux element...
(par exemple (x,x+1) forme une famille libre, (x,x+1,x+2) forme une famille lié.

il manque un "si" avant a*f+b*g=0