Bonsoir. Je pense que la théorie de Lebesgue demeure assez imparfaite dans le cadre des espaces , car trop d'abus sont fait au point de ne pas "coller" à la théorie sur certains points.

Travailler sur des classes d'équivalence ne me pose aucun soucis, donc définir une "vraie" norme sur le quotient des fonctions mesurables -intégrables par la relation d'équivalence "être = -presque partout", dans le but de pouvoir parler de convergence de ces fonctions modulo une égalité -presque partout... pourquoi pas.

Là où cela me dérange (désolé si je parais assez "chiant"), c'est lorsque l'on aborde la théorie des séries de Fourier. Pour que les fonctions de carré intégrable T-périodiques "forment" un espace de Hilbert, on doit malheureusement quotienter. Ainsi les classes forment un espace de Hilbert, avec le produit scalaire défini par (f et g sont des représentants des classes)

On a un Hilbert, c'est bien beau, mais lorsque l'on veut décomposer un élément de cette espace dans une base hilbertienne... il s'agit de classes de fonctions

Donc en pratique on ne peut pas utiliser les séries de Fourier sur les fonctions de ... et comme j'ai l'impression que le passage aux représentants n'est pas "continu", i.e. que   presque partout, ça ne semble pas trop simplifier les choses (pour des séries de Fourier valides "presque partout")

Soit j'ai très mal compris ces notions, soit il y a une réelle incohérence, avec une identification "classe = fonction" très imprudente... :/

Toutefois, si vous pouvez m'expliquer comment "surpasser" tout cela, remettre les choses au clair (ou je ne sais quoi... même me dire si je suis complètement à côté de la plaque )... je suis preneur !