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Niveau autre
Espaces et sous-espaces vectoriels
Posté par Marion8
Bonjour!
Bon j'ai commencé un exercice, j'ai attaqué la deuxième question et je ne sais pas trop quoi répondre... J'espère que vous pourrez m'aider!
Dans 
4, on considère les vecteurs v1 = (1; 1; 1; 1) et v2 = (2; 1; 0; 3), et l'ensemble :
F ={(x; y; z; t)
4| x - y + 2z + t = 0 et x -3y - 8z - t = 0}
1. Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de 4 .
2. a) Montrer que F admet une famille génératrice (v3; v4) .
b) Montrer que cette famille est une base du sous-espace vectoriel F.
3. La famille (v1; v2) est-elle libre ou liée ?
4. Déterminer un système d’'équations du sous-espace vectoriel G de R4 engendré par les vecteurs v1 et v2 .
5. Montrer que (v1; v2; v3; v4) est une base de R4 .
Merci de votre aide!
Et bien je sais montrer que F={u,v,w) (par exemple) est une famille génératrice de mais je ne vois pas comment faire pour montrer qu'il admet une famille génératrice (v3, v4)!
x - y + 2z + t = 0
x - 3y - 8z - t = 0
x + t = y - 2z
x - t = 3y + 8z
x = 2y + 3z
t = -y + 5z
donc F est l'ensemble des vecteurs (2y + 3z, y, z, -y + 5z) = y(2, 1, 0, -1) + z(3, 0, 1, 5)
ce qui te donne deux vecteurs générateurs de F et indépendants ...
Par contre pour la b je ne vois vraiment pas comment procéeder... Je sais que la famille de p vecteurs est une base de F si elle est à la fois génératrice et libre de F, or je sais déjà que la famille (v3,v4) est génératrice de F...
une famille génératrice et libre d'un sous-espace vectoriel est une base de cet espace vectoriel ...
Ben c'est la définition, on vient de l'avoir en fait... Si une famille de vecteurs est libre et génératrice alors la famille F est une base de F.
Pour la question 3, je ne vois pas comment rédiger... Je montrer qu'elle est libre ou non si ou je m'arrete et sinon je continue ou je copie directement ce qui me permet de dire qu'elle est liée (respectivement libre)?
Oui je sais c'était surtout un problème de rédaction mais j'ai fini par trouver =) D'où ma question pour la 4]
G est l'ensemble des vecteurs av1 + bv2 = (a,a,a,a) + (2b, b, 0, 3b) = (a + 2b, a+b, a, a + 3b)
on a donc dans G : x = a + 2b, y = a + b, z = a, t = a + 3b
donc x = z + 2b, y = z + b, t = z + 3b
donc b = y-z, puis x = z + 2(y-z) = 2y -z et t = z + 3(y-z) = 3y - 2z
tu peux choisir par exemple x - 2y + z = 0 et 3y - 2z - t = 0 comme équations de G
D'accord merci je garde donc un peu l'esprit du raisonnement de la question 2] a. Pour la 5 donc je sais que (v3,v4) est une base de F qui est inclus dans R. Ensuite je sais que (v1,v2) est libre et qu'elle est génératrice de G qui est lui aussi inclus dans R. Je peux donc en conclure que (v1,v2,v3,v4) est une base de R. Est-ce suffisant?
regarde par exemple dans l'espace à trois dimensions de la géométrie usuelle, avec la base tout aussi usuelle i, j, k : si tu prends d'un côté la famille (i, i+j) : elle est libre
et d'un autre la famille (i + 3j) : elle est libre aussi
pourtant (i, i+j, i+3j) est liée .
Ah je dois donc montrer qu'elle est génératrice et libre en oubliant les autres questions! Je fais comme dans la question 2 mais avec les 4 vecteurs! =)
exactement ! et comme elle a 4 vecteurs et qu'on est en dimension 4 , il te suffira de prouver qu'elle est libre.
Attendez vous voulez dire que j'ai juste à montrer qu'elle est libre parce qu'on est en dimension 4? Je ne comprends pas...
mais que sais-tu sur les bases d'un espace vectoriel de dimension n ?
les familles libres ? génératrices ?
pour les génératrices j'ai F=vect(v1,v2,v3,v4) , il faut que tout vecteur x de F puisse s'écrire comme une combinaison linéaire de vecteur de la famille... C'est donc ça qui revient à dire ce que lafol a dit alors?