Bonjour,
Je cherche à déterminer l'espace propre lié à la valeur propre 1 de cette matrice :
Ce que je fais c'est je calcule et je tombe sur le système suivant (j'ai pris le vecteur (x,y,z)) :
Mais à l'étape de dire quels sont les vecteurs propres j'ai un doute, je peux dire que les vecteurs propres sont : et , mais pourquoi pas aussi les vecteurs et ou encore ? Est-ce que c'est parce que les vecteurs de l'espace propre doivent forcément être "orthogonaux 2 à 2" donc le produit scalaire de chacun avec tous les autres doit être nul ou est-ce qu'il y a une autre raison ?
En fait je n'ai pas de bonne méthode pour déterminer les vecteurs de l'espace propre, surtout dans ce cas où il n'y a pas de forme ou on pose une des composantes en paramètres et exprime les autres en fonction (ici dans le système, "y" n'apparaît jamais)
Merci d'avance pour votre aide
Bonjour
il n'y a pas un nombre fini de vecteurs propres !
ce que tu peux dire ici, c'est que les vecteurs propres auront pour coordonnées (x,y,ix), où x et y sont deux complexes quelconques
donc tous ceux que tu as proposés sont effectivement des vecteurs propres
j'imagine que ce que tu cherches, plus précisément, c'est une base de l'espace propre ? navrée de te décevoir, mais là encore, il n'y en a pas une unique ! deux vecteurs propres non colinéaires donneront une base , tu as l'embarras du choix !
Bonjour,
Merci de votre réponse, oui effectivement je voulais dire "base de l'espace propre" je me suis mal exprimé .
Donc si je résume, la méthode pour trouver les vecteurs de la base de l'espace propre est de tous les déterminer, puis en trouver le maximum qui peuvent former une base ?
Si on nous demande "déterminer la dimension de l'espace propre de telle matrice" c'est bien cela qu'il faut faire ? Il n'existe pas de méthode plus rapide/plus efficace ?
Bonsoir,
en général tu as la méthode après (x, y, ix ) = x(1,0,i) + y(0,1,0)
te fournit directement une base. Il y a des cas où on peut faire autrement mais ça dépend de la matrice....
Pour la dimension tu peux dire qu'il n'y a qu'une équation indépendante (puisque l'autre est i fois la première), et
que par exemple par la formule du rang, la dimension du noyau de la forme linéaire est 3 -1 = 2
(sinon, cherche dans les réponses de GBZM, il y a un topic où il explique très clairement comment on a la dimension d'un sous-espace à partir du nombre d'équations linéaires indépendantes qui définissent ce sous-espace)
Bonsoir,
D'accord merci pour vos réponses je vois mieux comment faire.
J'ai une autre question sur la même matrice, mon professeur dit :
Bonjour,
Ce que dit ton prof, c'est que la droite vectorielle engendrée par est stable, donc c'est une droite propre. Après, il exagère en disant qu'on tient un sous-espace propre, parce que cette droite propre n'est pas tout le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 (qui est un plan vectoriel).
Bonjour,
Juste une remarque :
Un sous espace est dit stable par un endomorphisme quand est contenu dans .
Une droite stable est une droite propre (engendrée par un vecteur propre).
Si un sous-espace est stable par , on peut considérer la restriction de à et chercher à diagonaliser cette restriction.
Ici, le sous espace stable qu'on voit sur la matrice est une droite (celle engendrée par ), de dimension 1. Diagonaliser une matrice de taille 1, ce n'est pas très dur : elle est déjà diagonale.
Bonsoir
tu es sérieux, là ? tu as écrit u(e_2) = 1.e_2 et tu ne sais pas écrire la matrice de u dans la base (e_2) ?
Bonsoir,
Non je ne vois pas je n'ai jamais entendu parler de matrice de taille 1. Je lis sur internet que c'est un nombre donc ça serait "1" ?
Le prof dit ensuite "Il faut donc diagonaliser la matrice dans le sous-espace engendré par {e1,e3}" comment est-ce que je peux faire ça ? Je verrai peut-être mieux que avec juste {e2}. Il dit que la matrice à diagonaliser est mais pourquoi cette matrice ? Je sais que c'est la matrice avec la deuxième ligne et la deuxième colonne enlevées mais pourquoi fait-on ça ? A mon avis (faux je sais) on devrait juste enlever la 2ème colonne et pas de ligne
Bonjour,
Je ne sais pas trop à quel niveau se situe ton cours. Ta classification "autre licence" apporte très peu d'information là-dessus.
Je peux essayer de t'expliquer la situation mathématique, mais ça risque de te passer au-dessus de la tête.
J'appelle l'endomorphisme de de matrice dans la base Je t'ai expliqué ce qu'est un sous-espace stable par un endomorphisme. Il se trouve ici que l'examen de la matrice nous donne immédiatement deux sous-espaces stables et . Ces deux sous-espaces stables sont supplémentaires, .
On peut alors considérer les restrictions et . La matrice de dans la base de est . Celle de dans la base de est (eh oui, une matrice à une ligne et une colonne).
Est-ce que je t'ai perdu, ou est-ce que je peux continuer ?
J'ai l'impression que ton incompréhension est plus profonde et se situe au niveau de . Tu le notes {e1,e3}, comme si c'était l'ensemble à deux éléments e1 et e3. Or ce n'est pas du tout ça ! C'est le sous-espace engendré par et , c.-à-d. l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de et . C'est tout un plan vectoriel.
L'examen de la matrice montre que et que . Donc est stable par .
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :