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espaces supplémentaires

Posté par
termina123 19-07-20 à 21:37

Bonjour
Dans R4, on pose u = (−1,3,−3,1) et v = (1,−1,−1,1) et F =Vect{u,v}.
1. Donner un système d'équations cartésiennes définissant F.
2. Le vecteur w = (1,0,1,0) appartient-il à F ?
3. Déterminer tous les vecteurs a = (x,y,z,t) tels que F et Vect{w,a} soient supplémentaires dans R4

1) F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R} ^{4}|y-t+2x=0\;et\;z+2t-x=0\}
2) Non
3) J'ai essayé de passer du système générateur à un système d'équations comme pour la 1) mais j'y arrive pas.
Ensuite pour montrer que vect(w,a)F={(0,0,0,0)} j'ai pris un vecteur g de vect(w,a)F qui s'écrit g=au+bv et g=cw+da et je voulais montrer que a=b=c=d=0 mais j'y arrive pas aussi.

Posté par
termina123re : espaces supplémentaires 20-07-20 à 03:31

J'ai continué j'ai posé E=vect(w,a) avec a=(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1})
Je trouve que E=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}|ty_{1}=yt_{1}\;et\;y_{1}(z-x)-y(z_{1}-x_{1})=0\;,(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1})\in\mathbb{R}^{4}\} et  je ne sais pas si E est bien formulé

Posté par
carpediemre : espaces supplémentaires 20-07-20 à 10:06

salut

pourquoi des indices : a = (x, y, z, t) dans l'énoncé

vec (w, a) et F sont supplémentaires <=> (u, v, w, a) est une base donc

pu + qv + rw + sa = 0 <=> p = q = r = s = 0 (p, q, r, et s évite des indices et rend plus clair)

il suffit de calculer le premier membre ...

Posté par
ThierryPomare : espaces supplémentaires 20-07-20 à 11:03

Bonjour,

Comment traduit-on ce qui précède à l'aide d'un déterminant ?

Posté par
termina123re : espaces supplémentaires 20-07-20 à 22:45

Soit E=vect(w,a)
On a (u,v) base de F et (w,a) base de E donc E et F supplémentaires dans R4<=> (u,v,w,a) est une base

<=> \begin{vmatrix} -1& 1 & 1 &x\\ 3& -1 & 0 & y\\ -3&-1 & 1&z \\ 1& 1& 0 &t \end{vmatrix} \neq 0
<=>-8t-4z+4x \neq 0
<=>-2t+x \neq z

Or (u,v,w,a) est une famille libre de 4 vecteurs et R4 est de dimension 4 donc c'est une base de R4

Donc les vecteurs a de coordonnées (x,y,z,t) dans la base canonique de R4 pour lesquels E et F sont supplémentaires sont les vecteurs où z \neq -2t+x

Après comme (u,v,w,a) est libre, la sous famille (w,a) est libre mais je sais pas si il fallait le montrer avant d'utiliser la caractérisation de deux espaces supplémentaires

Posté par
carpediemre : espaces supplémentaires 21-07-20 à 14:30

pas le montrer ... mais peut-être le dire quand tu dis "(w, a) base de E" pour que que E et F soient supplémentaires ...

Posté par
termina123re : espaces supplémentaires 21-07-20 à 17:42

J'ai pas compris ce qu'il fallait dire
En plus (w,a) n'est pas une base de vect(w,a) pour tous vecteur a donc je sais pas

Posté par
ThierryPomare : espaces supplémentaires 21-07-20 à 21:57

Bonsoir,

@Carpi : que t'arrive-t-il ?

@Termina123 : il est possible d'envisager la question sous plusieurs angles. En voici une autre qui ne correspond pas à ta demande. Il est clair que la famille (u,\,v,\,w) est libre et génératrice d'un hyperplan de \R^4. Tout vecteur a n'appartenant pas à cet hyperplan sera tel que \R\,a est un supplémentaire dudit hyperplan. Autrement dit, pour tout vecteur a n'appartenant pas à cet hyperplan (donc qui n'est pas combinaison linéaire des vecteurs u, v et w) est nécessairement tel que

\R^4=\mbox{Vect}(u,\,v,\,w)\oplus\R\,a

Posté par
carpediemre : espaces supplémentaires 21-07-20 à 22:30

salut ThierryPoma : voila ce qui m'arrive : Fonction

à un moment il serait temps de comprendre qu'il faut grandir et/pour acquérir une autonomie et en particulier que pour apprendre il peut être utile d'apprendre à apprendre : je donne pourtant la/une direction/indication à prendre en plus ...de niveau première et bien que cela se fisse en collège ...

si les élèves font de la philosophie en terminale c'est bien pour une raison ...

quant à l'esprit ilien il suffit de regarder le nombre de fils auxquels j'ai répondu et aidé ces derniers jours ... donc ça me fait bien rire ....

la bienveillance est une chose mais quand elle tourne au mensonge (par omission) cela devient  grotesque et surtout un crime contre notre jeunesse (mais attention je ne veux pas de l'éducation comme dans certains pays asiatique bien sûr) ...

il est parfois nécessaire de faire une remarque de méthode et de fond : quand on décide d'agir (dans l'apprentissage) il faut aller au bout des choses en allant chercher ces choses justement : c'est un vrai travail personnel en profondeur et apprendre à faire des retours en arrière est fondamental pour qui veut avancer ...

mais cela ne semble pas compris ...

Posté par
carpediemre : espaces supplémentaires 21-07-20 à 22:33

au fait bien vu ton idée aussi : c'est une autre vision du même pb et qui utilise la même propriété des supplémentaires mais en cassant l'un des espaces puisqu'on a déjà un générateur ...

Posté par
ThierryPomare : espaces supplémentaires 21-07-20 à 23:18

Carpi,

Bonsoir. Je viens de suivre ton lien et suis entièrement d'accord avec ton intervention. J'aurais été dans le même sens. Ou bien - et tu me connais - j'aurais résolu le pseudo exercice, faisant ainsi preuve de bienveillance tant à l'égard de l'initiateur que des intervenants qui auraient inutilement perdu leurs temps respectifs. Pour ma part, je n'intervient plus que très rarement sur l'île.

Posté par
carpediemre : espaces supplémentaires 21-07-20 à 23:44

merci et bonne vacances ...

Posté par
termina123re : espaces supplémentaires 22-07-20 à 00:37

Salut @ThierryPoma
Avec cette méthode il n'y a pas de problème à priori pour utiliser cette caractérisation des espaces supplémentaires

Mais je voulais savoir si pour que ce soit correct il aurait fallu donner une condition sur les coordonnés de a pour que (w,a) soit libre avant d'utiliser la caractérisation  

Posté par
ThierryPomare : espaces supplémentaires 22-07-20 à 09:41

Si (u,\,v,\,w,\,a) est libre, alors (w,\,a) est nécessairement libre. La réciproque est fausse comme on le voit immédiatement en prenant a=2\,v, par exemple.

Posté par
malou Webmasterre : espaces supplémentaires 22-07-20 à 11:25

Bonjour ThierryPoma et carpediem
J'ai préféré répondre là Fonction pour ne pas empoisonner ce sujet.


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