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Espaces tangents parallèles
Bonjour à vous, j'espère que vous allez bien.
Je souhaite montrer le résultat suivant pour fixé :
Soit une submersion, de classe
au moins, définie sur un ouvert de
à valeur dans
. On suppose que
est une
sous-variété compacte non vide (de dimension
) de
.
Alors pour tout , il existe
tel que les espaces tangent affines
et
soient parallèles.
Si on visualise la sphère unité de l'espace, le résultat est visiblement correct : à un point donné de la sphère, le point diamétralement opposé admet un espace tangent parallèle au premier point.
Cet exercice s'inscrit dans un chapitre sur les extrema. Il est donc probable qu'il faille utiliser le théorème des extrema liés, mais je n'ai pas trouvé..
Les espace tangent vectoriels et
, vérifient par construction de
:
.
Avez-vous des idées ?
Bonjour mokassin,
Oui j'ai déjà essayé avec cette application. J'expose rapidement ce que j'ai fais.
Sous les hypothèses que j'ai énoncé, je me donne et je note
.
Par compacité de ,
restreinte à
admet un minimum global (c'est
par propriété de séparation de la norme) et un maximum
. De plus
est différent de
car
n'est pas réduit à
.
Par le théorème des extrema liés, on déduit .
Ecrivons maintenant ce que vaut la différentielle de en
:
D'où orthogonal à
et en particulier orthogonal à
.
Ensuite je définis . Si
est extremum de
restreinte à
, alors le même raisonnement permet de conclure que
est orthogonal à
.
Et dans ce que on aurait alors vecteur non nul orthogonal à
et
. Ce qui est une condition suffisante (mais pas nécessaire si je me trompe pas) pour avoir le résultat escompté.
Cependant rien ne dit a priori que est extremum de
restreinte à
?
Lorsque j'affirme que la condition n'est pas nécessaire, je pense par exemple dans le plan à une ellipse et qui n'est pas sur un axe de symétrie de cette ellipse : il existe bien
(symétrique de
par l'origine si l'ellipse est centrée) mais le vecteur
n'est pas orthogonal aux tangentes ..
On peut supposer que p0 = O . Soient u = Grad(f)(O) et p la projection orthogonale sur 
.u .
P(V) est un intervalle [O , c.u] où c 
0 .
Si Grad(f)(c.u) et Grad(f)(O) sont co-linéaires , c'est gagné ! .
***Remplacer " P(V) est un intervalle [O , c.u] où c 0 " par " p'V) = [- a.u , b.u ] où a² + b² 0 "
et " Grad(f)(c.u) et Grad(f)(O) co-linéaires " par " { Grad(f)(-a.u) , Grad(f)(O) , Grad(f)(b.u) } non libre "
Bonsoir etniopal,
D'accord merci, mais je suis pas sûr d'avoir compris.
Tu poses ? Mais le vecteur nul n'est pas forcément dans
(si on considère la sphère par exemple).
Ensuite tu fais le gradient de "cu" donc un gradient de gradient .. Je suis perdu 
En chaque point x de V l'hyperplan tangent Tx est x + Grad(F) 
.
Par un changementde repaire on se ramene au cas x = O et Grad(F) 
.en .
La projection orthogonale W de V sur .en est un compact non réduit au point O .
Contrairement à ce que j'ai dit ce n'est pas forcément un intervalle ( Si n = 2 et V la réunion de 2 cercles disjoints la projection orthogonale de V sur une droite peut être la réunion de 2 segments disjoints) . Mais W est contenu dans un segment compact contenant O donc de la forme [-a.en , b.en] où a et b sont 
0 mais pas tous les 2 nuls .
Si b > 0 et si y V
p-1(V) Ty et TO sont parallèles (pour le voir on peut utiliser le fait que dans un voisinage de y V est le graphe d'une application g d' un ouvert U de n-1 vers telle que g 
b ) .
Bonjour etniopal,
D'accord merci j'ai compris le raisonnement ! 
Pour ce n'est pas dans
ou bien dans
(a ou b non nul donc l'un au moins est ok) qu'il faut le prendre ?
C'est " V p-1 (b.en) au lieu de " V p-1 (V) " !!
Il faut aussi rajouter (avant ) que b : = Sup { t │ t.en W } ( et a : = Inf{ t │ t.en W }
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