rebonsoir

pour le a) il faut procéder par double inclusion, c'est-à-dire d'abord montrer que :

(1)

puis montrer que :

(2).

Je te montre comment on procède pour montrer l'inclusion (1) :

soit , alors il existe tel que .

Montrons que .

Il est clair que puisque .

Il reste donc à montrer que ie .

Comme .

D'où : et ).

Conclusion : et .




Tu commences la seconde inclusion ?

Bonsoir,

a) si , à savoir et donc et donc . De plus, par définition, . L'autre inclusion est évidente...

b) dans ce cas, est un projecteur... tu dois avoir la suite dans ton cours par contre, je peux te dire que la réciproque est fausse... mais répond d'abord à l'implication

c) aller, un peu de courage...

d) idem, c'est pas difficile... La réciproque est fausse, en effet, si est bijective, on n'a pas nécessairement que (même très rarement... donc facile de trouver des contre exemple )

j'ai compris le début du raisonnement jusqu'à 'il est clair que...".
Je ne comprend pas du tout ce qui vient après.....


Pour idm, je n'ai pas vu de méthode avec des carrés.. .et encore moins les projecteurs :/

relis ma démon en considérant (car c'est la même chose), pour les projeteur, c'est juste une application tel que

Il n'y a pas plus clair.

je suis désolé de ramer autant...
Je crois avoir compris quelque chose: dans le message du 26 à 23h26, dans la ligne " D'où : f(y)=f\circ f(x)=0 et y\in\ker(f)"    fof (x)  correspond à f (f(ker (fof) ) ) ?? si oui, j'ai compris

problème de copier coller... la ligne dont je parle est celle avant la ligne de conclusion...

j'ai compris!!
ms pour la deuxième inclusion j'ai retourné le problème et je ne vois pas comment commencer :/

Détaillons puisque manifestement tu en as besoin :

Soit y appartenant à Im f ET à Ker f

Si j'analyse la question, je vois que je cherche à démontrer que y appartient à f ( Ker fof ) c'est à dire qu'il existe x appartenant à Ker fof  [ (fof)(x) = 0 ] tel que y = f(x)

Bon ben on y va !

1] y appartient Im(f) donc il existe x appartenant à E tel que y=f(x)

2] y appartient également à Ker f donc f(y) = 0.

Calculons f(y) :

     f(y) = f( f(x) ) = (fof)(x)

Comme f(y) est nul on en déduit que (fof)(x) = 0 donc x appartient à Ker (fof)

Ainsi, il existe x appartenant à Ker fof tel que y = f(x),

On a donc démontré que y appartient à f ( Ker fof ).

Ceci achève de démontrer que Im f ∩ Ker f est inclus dans f ( Ker fof )

Maintenant tu peux cogiter !

tes explications sont sans doute très claires, et je pense comprendre quelques brides de celle ci mais je m'embrouille et j'ai du mal à comprendre la fin... je  m'y remettrai demain , à tête reposée...

Pour la question b), je crois qu'il faut dire que si fof=f alors  Kerf(inter)Imf est réduite au vecteur nul, non?


Pouvez vous m'aiguiller pour le début de ce qu'il faut faire aux questions c) et d) s'il vous plait?

Merci beaucoup de toute votre aide,

b] En effet, si f o f = f alors  f( Ker f o f ) = f ( Ker f ) =  { 0 }  donc d'après ce qui précède...

c] Petite remarque :
    
          ∎ si f est un endomorphisme de E alors Ker f ⊂ Ker f o f

             En effet, si x ∈ Ker f on a f(x) = 0 et par conséquent : (f o f)(x) = f( f(x) ) = f( 0 ) = 0.
            
             On a donc : x ∈ Ker f o f

Supposons que Kerf ∩ Imf = { 0 }

    D'après a], on sait que f ( Ker f o f )= {0} ce qui implique que Ker f o f  est inclus dans Ker (f) .

    Mais comme Ker (f) est inclus dans Ker f o f (voir remarque), cela signifie que ces deux sous-espaces sont égaux.

Supposons que Ker (f o f) = Ker (f)

    Je te laisse le faire.

c] ceci découle des questions précédentes.
    

après le premier "supposons que..." ,
en quoi dans a) nous montrons que f ( ker fof)= {0}? j'ai beau le relire, je ne vois seulement  f( f(ker fof)  = 0)...      sinon je comprends le reste des explications pour cette partie. mais on montre l'équivalence avec ça? puisque je ne vois pas où on utilise "Kerf ∩ Imf= {0}"...

Je comprends à peu près les explications, mais je suis incapable de faire les démonstrations seul ni de démarrer une démonstration d'équivalence...., je vous remercie énormément mais je pense que je vais rendre mon devoir, même pas fini et demander à mon prof plus d'explications claires de son cours pour enfin réussir à le faire moi même...

a] On a montré que f ( Ker fof ) = Ker f ∩ Im f

b] Si je suppose que Ker f ∩ Im f = {0} alors c'est la même chose que supposer f ( Ker fof ) = { 0 }

Tu as bu ou quoi ?