Bonjour,
on peut envisager le problème de deux façons.

Première interprétation :
on dispose d'assez de jetons noirs et de jetons blancs ( au moins 250 de chaque ) et on tire au hasard et avec équiprobabilité la couleur du jeton pour chaque emplacement.

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Dans ce cas le nombre de changements de couleur suit une loi binomiale de paramètres 249 et 1/2.
L'espérance est 249/2=124,5

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Dans ce cas je crois que l'espérance du nombre de changements de couleur est 125.

Bien vu Verdurin

on peut cependant remarquer une chose , en prenant un exemple très simple qui consiste à tirer 3 jetons  ( blanc ou noir) au hasard avec remise .
si je veux déterminer les configurations qui me donne 2 changements de couleur j'aurais les cas  "NBN" ou "BNB"  soit 2 cas favorables sur 8 possibilités de tirage et donc la proba associée sera P = 2/8 = 1/4.
si je fais appel à la loi binomiale de paramètre B(  2; 1/2)   alors P(X=2 changements de couleur)= C(2,2)/8 = 1/8 , le résultat obtenu par la loi binomiale ici ne tient pas compte du type de séquence obtenu mais indique seulement qu'il y a  k changements de couleur dans la séquence

Bonsoir flight.
Si on considère que X suit la loi binomiale de paramètres 2 et 1/2 alors un calcul vraiment simple montre que P(X=2)=1/4.

Expérimentalement, j'obtiens bien que l'espérance du nombre de changement de couleur pour n jetons de chaque couleur est n.
Reste à le prouver.

J'ai le nombre de changement total dans toutes les séquences de b jetons blancs et n jetons noirs finissant par un jeton blanc.
De la même façon, est le nombre de changement total dans toutes les séquences de b jetons blancs et n jetons noirs finissant par un jeton noir.
Le nombre de séquences pour b et n jeton de chaque couleur est donné par .

On a

Et

On peut accélérer le calcul en considérant que .

Reste à prouver que .

Bonjour,

merci à flight pour avoir posé cet exercice et à verdurin pour avoir précisé les deux interprétations possibles.

L'interprétation avec la loi binomiale est classique mais je ne connaissais pas la seconde interprétation.

Je la généralise en demandant l'espérance de , nombre de changements de couleur quand on aligne de façon aléatoire jetons noirs et jetons blancs (cela revient à choisir emplacements parmi ).
La loi de peut se calculer en distinguant et mais le calcul de l'espérance est fastidieux.

Après avoir fait les calculs dans les cas et , j'ai deviné la formule générale :

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Merci Verdurin, il y a eu effectivement un loupé dans mon calcul

J'aimerais avoir le pouvoir de divination de jandri

Je corrige ce que j'ai écrit :

c'est après avoir calculé l'espérance dans les cas , et que j'ai pu deviner une formule générale pour l'espérance.

Bonsoir jandri.
Je ne trouve pas de démonstration en deux lignes de ta formule générale.

Peux-tu, s'il te plais,  donner cette démonstration ou au moins une indication ?

Bonsoir verdurin,

voici une indication, cela doit te suffire pour faire le calcul de l'espérance quand on aligne de façon aléatoire jetons noirs et jetons blancs :

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Pour je considère la variable aléatoire de Bernoulli qui vaut 1 s'il y a un changement de couleur entre les jetons et