Bonjour,

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Proba du nombre n de blanches en 12 tirages:

(1/2)^12 * C(n,12)

Espérance = Somme depuis n = 0 jusque 12 de [(1/2)^12 * C(n,12) * 2^n]

On trouve E = 129,75 (arrondi)

C'est le nombre moyen de boules blanches dans l'urne après les 12 tirages

Bonsoir , candide2 .... j'ai pas du tout ce resultat via un algorithme

Bonjour,

Je viens d'écrire un algo ... qui semble bien confirmer mes réponses.

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import random

total = 0
cmpt1 = 0
cmpt2 = 0
cmpt4 = 0
cmpt8 = 0
cmpt16 = 0
cmpt32 = 0
cmpt64 = 0
cmpt128 = 0
cmpt256 = 0
cmpt512 = 0
cmpt1024 = 0
cmpt2048 = 0
cmpt4096 = 0

coup = 1000000
for k in range(0,coup):
  b = 1
  r = 1

  for i in range(0,12) :
    h = random.randint(0,1)
    if h == 0:
        b = 2*b
        
  if b == 1 :
      cmpt1=cmpt1+1 
  if b == 2 :
      cmpt2=cmpt2+1
  if b == 4 :
      cmpt4=cmpt4+1
  if b == 8 :
      cmpt8=cmpt8+1
  if b == 16 :
      cmpt16=cmpt16+1   
  if b == 32 :
      cmpt32=cmpt32+1 
  if b == 64 :
      cmpt64=cmpt64+1
  if b == 128 :
      cmpt128=cmpt128+1
  if b == 256 :
      cmpt256=cmpt256+1
  if b == 512 :
      cmpt512=cmpt512+1 
  if b == 1024 :
      cmpt1024=cmpt1024+1   
  if b == 2048 :
      cmpt2048=cmpt2048+1
  if b == 4096 :
      cmpt4096=cmpt4096+1      
  total = total + b    
    
print(cmpt1/coup, cmpt2/coup, cmpt4/coup, cmpt8/coup, cmpt16/coup, cmpt32/coup, cmpt64/coup, cmpt128/coup,cmpt256/coup, cmpt512/coup,cmpt1024/coup,cmpt2048/coup, cmpt4096/coup)
print(total/coup)

**************

Réponses de l'algo :

0.000227 0.002883 0.016207 0.053876 0.120253 0.19377 0.22565 0.19299 0.121058 0.053862 0.016062 0.002957 0.000205
129.682133
****************

La moyenne calculée par l'algo est 129,68 (dernière ligne)
Les autres réponses sont les probas en fonction du nombre de blanches au final (en moyenne)

Par exemple le 3ème nombre : 0.016207 donné par l'algo
... correspond à 4 blanches (2^2) au final et que j'avais trouvé (sans algo) égal à  (1/2)^12 * C(12,2) = 0,016113

Ou le 7ème nombre : 0.22565  donné par l'algo
... correspond à 64 blanches (2^6) au final et que j'avais trouvé (sans algo) égal à  (1/2)^12 * C(12,6) = 0,22558

Bonjour candide2

À chaque tirage ton code semble faire un " pile ou face "(random.randint(0,1)), donc avec probabilité 1/2 qui décide si on double ou non les boules blanches.

Si h = 0 (pile par exemple), on double le nombre de boules blanches.

Si h = 1 (face), on ne change rien.

Sauf que dans mon énoncé, le tirage n'est pas pile ou face avec probabilité de 1/2 !...

Le tirage est fait proportionnellement au nombre de boules : on pioche selon la proportion de boules blanches et rouges dans l'urne Plus il y a de boules blanches, plus on a de chances d'en tirer une.
Donc la probabilité d'avoir une blanche augmente au cours du processus, ce n'est pas toujours 1/2 !ton  code simplifie abusivement le  problème en supposant une probabilité constante de 1/2  à chaque tirage.

Rebonjour,

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Avec cette lecture ... je trouve une moyenne de 1720

Sauf autre mauvaise interprétation.

bonjour,

avec un algorithme :

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import random
i=1
s=0
while i<30001:
    r=1
    b=1
    tot=2
    n=1
    while n<13:
        a=random.randint(1,tot)
        if a!=1 :
            b=b*2
            tot=b+r
        n=n+1
    s=s+b
    i=i+1
i=i-1
print("s= ", s ,  "i= " , i)
print(s/i)


j'obtiens une moyenne de 1715

Bonsoire  Leile , candide2 , daccord avec les resultats que vous avez obtenu

Bonjour,
il n'existe pas de formule générale mais on peut calculer par récurrence la loi du nombre de boules blanches après n tirages (il y a en permanence une boule rouge).

Pour :



On en déduit l'espérance de . Pour :



soit environ (ou pour une valeur entière).

C'est candide2 qui était le plus proche.

Bravo à jandri et candide2  pour la precision de vos résultats , Leile 1715  est un peu eloigné ... peu être un nombre d'itérations trop faible dans ton programme ?