Niveau Licence Maths 1e ann

Espérance à partir d'une fonction de densité

Posté par
Taendyr 06-01-18 à 12:54

Bonjour,
J'ai une fonction de densité : $[tex]f_\lambda (x)=\frac{1}{2}\lambda^2\left|x \right|\exp (-\frac{\lambda^2x^2}{2})$
[/tex].
Je dois en calculer l'espérance et la variance.
Comme cette fonction est paire, peut-on dire que l'espérance est nulle ? Ou faut-il calculer l'intégrale de x*f(x) ?

Posté par re : Espérance à partir d'une fonction de densité 06-01-18 à 13:07

Bonjour.

Effectivement, la densité étant paire, la moyenne est nulle. Pour être rigoureux, il faut quand même bien préciser qu'il s'agit d'une loi intégrable, pour pouvoir parler d'espérance.

Posté par re : Espérance à partir d'une fonction de densité 06-01-18 à 13:24

D'accord merci, parce qu'en faisant l'intégrale je trouvais pas 0...
Par contre pour calculer la variance, il faut absolument passer par l'intégrale pour calculer E(X²) non ?

Posté par re : Espérance à partir d'une fonction de densité 06-01-18 à 13:45

Citation :
D'accord merci, parce qu'en faisant l'intégrale je trouvais pas 0...

C'est que tu t'es planté. Tu peux nous détailler le calcul ici et on regarde ce qui ne va pas.

Citation :
Par contre pour calculer la variance, il faut absolument passer par l'intégrale pour calculer E(X2) non ?

Oui là je vois pas trop d'autre moyen de le faire. Peut-être qu'une bonne idée serait de découper l'intégrale en deux, et de reconnaître à peu de choses près les moments de la loi gaussienne.

Posté par re : Espérance à partir d'une fonction de densité 06-01-18 à 15:27

voici mon calcul :
$E(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }{xf(x)}dx = 2\int_{0}^{+\infty}{xf(x)} dx= \lambda^2\int_{0}^{+\infty}x\times x\exp (-\frac{\lambda^2x^2}{2})dx=\int_{0}^{+\infty}{\exp(-\frac{\lambda^2x^2}{2})dx$
$I = \int_{0}^{+\infty}{\exp(\frac{\lambda^2x^2}{2})dx$
$I^2 = \int_{0}^{+\infty}{\exp(\frac{\lambda^2x^2}{2})dx \int_{0}^{+\infty}{\exp(\frac{\lambda^2y^2}{2})dy= \int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{+\infty}{\exp(-\frac{-\lambda^2}{2}(x^2+y^2))}dxdy$

passage en polaire (pas sûr des bornes) :
$I^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{+\infty}r\exp(\frac{-\lambda^2r^2}{2})drd\theta = \frac{\pi}{2\lambda^2}$

voilà. Je pense m'être trompé du coup sur l'IPP au début, mais je ne vois pas l'erreur..

Posté par re : Espérance à partir d'une fonction de densité 06-01-18 à 22:38

Taendyr @ 06-01-2018 à 15:27

voici mon calcul :
$E(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }{xf(x)}dx = 2\int_{0}^{+\infty}{xf(x)} dx$

J'ai arrêté de lire à partir de là. f est paire, mais xf(x) est impaire. Donc cette égalité est fausse.

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