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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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espérance d'un produit

Posté par
miguelxg
29-11-22 à 19:19

bonjour

j'ai une question concernant l'espérance : considérons X et Y deux variables aléatoires réelles dans \mathbb{L}^1 (donc qui admettent une espérance, c'est-à-dire que l'on a \mathbb{E}(\lvertX\lvert) < +\infty et \mathbb{E}(\lvertY\lvert) < +\infty)... a-t-on que XY \in \mathbb{L}^1?

je me doute bien que le produit de deux variables aléatoires réelles qui admettent une espérance ne possède pas forcément une espérance... cependant, je n'arrive pas à trouver d'exemple simple pour justifier ça

je sais par contre que si X et Y sont deux variables aléatoires réelles de carré intégrable, la variable aléatoire XY admet une espérance

je vous remercie pour votre aide

Posté par
jsvdb
re : espérance d'un produit 29-11-22 à 22:20

Bonjour miguelxg.
D'une manière générale, le produit de deux éléments de L1 n'est pas dans L1.
Prendre f(x) = 1/(2x) qui est intégrable sur [0,1].
On a f²(x) = 1/(4x) sur ]0,1] qui n'est évidemment pas dans L1 (ni dans aucun Lp d'ailleurs)
Sauf erreur bien entendu

Posté par
miguelxg
re : espérance d'un produit 29-11-22 à 23:30

salut ! merci beaucoup pour ta réponse, j'aurais dû penser aux fonctions en effet...

merci pour ton exemple, bonne soirée !



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