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Niveau Master
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Espérance d'une somme de variables aléatoires

Posté par
Red32
29-03-18 à 23:14

Bonsoir!

J'étais en pleine lecture d'un cours de probabilités, et je suis depuis bloqué une certaine ligne d'une démonstration:

X1 est d'une loi inconnue et a pour fonction de répartion F.
U1 est de loi uniforme [0,t].

P(U_{1} + X_{1} \geq t) = \frac{1}{t} \int_{0}^{t} P(U_{1} + X_{1} \geq t | U_{1} = s)ds = \frac{1}{t} \int_{0}^{t} (1-F(u))du.

J'imagine que le \frac{1}{t} est la densité de U1, mais je ne comprends pas comment on obtiens ensuite le (1-F(u)), ni comment on passe de ds à du.

Merci d'avance!

Posté par
Red32
re : Espérance d'une somme de variables aléatoires 29-03-18 à 23:20

Je viens de me rendre compte que j'ai fait une erreur dans le titre: c'est bien évidemment une probabilité de somme de variables aléatoires, et non une espérance! Mes excuses

Posté par
jsvdb
re : Espérance d'une somme de variables aléatoires 30-03-18 à 00:07

Bonjour Red32.

\begin {aligned}\frac{1}{t} \int_{0}^{t} \mathbb P(U_{1} + X_{1} \geq t | U_{1} = s)ds & = \frac{1}{t} \int_{0}^{t} \mathbb P(X_{1} \geq t-s )ds \\ &= \frac{1}{t} \int_{0}^{t} 1- \mathbb P(X_{1} < t-s )ds {\blue \text { ici, changement de variable } u = t-s}\\ & = \frac{1}{t} \int_{0}^{t} (1-F(u))du \end{aligned}

Citation :
J'imagine que le \frac{1}{t} est la densité de U_1

Précisément \forall \xi \in \R,~f_{U_1}(\xi) = \frac{1}{t}\mathbf 1_{[0;t]}(\xi)

Posté par
carpediem
re : Espérance d'une somme de variables aléatoires 30-03-18 à 00:13

salut

il est grand temps d'apprendre le français ...

Citation :
X1 est d'une loi inconnue et a pour fonction de répartion F.
U1 est de loi uniforme [0,t].
on dit d'une variable aléatoire quelle suit telle ou telle loi (du verbe suivre) ...

Citation :
P(U_{1} + X_{1} \geq t) = \frac{1}{t} \int_{0}^{t} P(U_{1} + X_{1} \geq t |{\red  U_{1} = s})ds = \frac{1}{t} \int_{0}^{t} (1-F(u))du.
et ne pas savoir en master que la probabilité de l'événement (U = s) est nulle quand U suit une loi continue comme toute loi uniforme ...

et quelle est l'intérêt de mettre des indices inutiles dans l'exercice ...

de plus la loi uniforme est vue en terminale ... donc en master on n'imagine plus ... on sait ... ou on agit pour savoir et on affirme ...


en revenant aux définition de base :

pour que l"événement (U + X > t) soit réalisé il suffit que les événements (U > s) et (X > t - s) soit réalisés ou encore

P(U + X > t) = P(U > s $ et $ X > t - s) = P_{U > s} (X > t- s) P(U > s)



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