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Espérance d'une variable aléatoire

Posté par
nessie34
21-05-22 à 17:50

Bonjour,
J'ai un exercice où je dois montrer que l'espérance de X (une variable aléatoire à valeurs dans [0,N]) est égale à la somme de k=0 jusqu'à
N-1 des P(X>k).
J'ai commencé par revenir à la définition de l'espérance puis j'ai utilisé P(X=k) = P(X>k-1) - P(X>k) mais là je bloque et je ne sais pas trop comment faire.
Pourriez vous m'aider ?
Merci par avance !

Posté par
verdurin
re : Espérance d'une variable aléatoire 21-05-22 à 18:03

Bonsoir,
un exemple avec N=3
P(X>0)=P(X=3)+P(X=2)+P(X=1)
P(X>1)=P(X=3)+P(X=2)
P(X>2)=P(X=3)
en faisant la somme on trouve
3P(X=3)+2P(X=2)+1P(X=1)+0P(X=0)

Posté par
Sugaku
re : Espérance d'une variable aléatoire 21-05-22 à 18:10

Bonjour, tu es sur la bonne voie en écrivant \mathbb{P}(X=k) = \mathbb{P}(X>k-1)-\mathbb{P}(X>k) pour faire apparaitre une somme télescopique. Toutefois, dans la définition de l'espérance il ne faut pas oublier qu'on somme k \mathbb{P}(X=k). Par conséquent tu peux garder cette idée de décomposition, la multiplier par k puis essayer de refaire apparaitre une autre somme télescopique qui pourra t'aider à obtenir le résultat souhaité  

Posté par
carpediem
re : Espérance d'une variable aléatoire 21-05-22 à 19:17

salut

E(X) = \sum_0^n kP(X = k) = \sum_1^n kP(X = k) = \sum_{k = 1}^n \left( \sum_{i = 1}^k 1 \right) P(X = k) = ...

Posté par
nessie34
re : Espérance d'une variable aléatoire 21-05-22 à 19:58

Merci beaucoup pour vos indications ! Bonne soirée !



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