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Niveau Prepa (autre)
Espérance du produit de variables aléatoires
Posté par garnouille
On considère deux variables aléatoires discrètes indépendantes X et Y :
* X suit la loi binomiale de paramètres n et x
* Y suit la loi binomiale de paramètres n et y
on pose Z = 2n - X - Y et W=XYZ
Montrer que E(W) = n²(n-1)xy(2n-x-y)
Je ne sais pas manipuler E(XYZ)... mais je sais que :
E(X)=nx , E(Y)=ny ,
X et Y sont indépendantes donc : E(XY)=E(X)*E(Y)=n²xy
E(Z)=E(2n - X -Y)= 2n - nx-ny = n(2-x-y)
mais je ne sais pas quoi faire d'autre... une piste ?
Mille excuses pour n'avoir saluer personne et grand merci pour cette indication, je vais chercher...
🙏
J'ai bien compris le début mais je ne vois pas quoi faire avec E(X²Y) et E(XY²),
quelqu'un peut-il m'aider à poursuivre ?
E(XYZ) = E(XY(2n-X-Y))
E(XYZ) =E(2nXY)-E(X²Y)-E(XY²)
E(XYZ)=2nE(XY)-E(X²Y)-E(XY²)
comme X et Y sont indépendantes : E(XY)=E(X)*E(Y)=n²xy
donc :
E(XYZ)=2n3xy-E(X²Y)-E(XY²)
Bonsoir,
E(XYZ)=2n3xy-E(X²Y)-E(XY²)
X² et Y d'une part, X et Y² sont indépendantes donc :
E(XYZ)=2n3xy - E(X²)E(Y) - E(X)*E(Y²)
V(X)=E(X²) - (E(X))²
nx(1-x)=E(X²)-(nx)² soit E(X²) = nx(1-x)+n²x²
E(XYZ) = 2n3xy - n²xy(1-x) - n3x²y - n²xy(1-y) - n3xy²
E(XYZ) = n²xy ( 2n - 1 + x -nx - 1 + y -ny)
E(XYZ) = n²xy (2n -2 - x (n-1) - y(n-1))
E(XYZ) = n²xy (2(n -1) - x (n-1) - y(n-1))
E(XYZ) = n²xy (n-1)(2-x-y)
merci beaucoup Verdurin pour vos indications... j'aurais pédalé longtemps dans le vide sans vous ! 