Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceMaths 2e/3e a ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Espérances et fonctions indicatrices

Posté par
Ennydra 23-03-18 à 00:09

Bonjour,

Je ne comprends pas bien un point sur l'espérance en probabilités.
On a \mathbb{E}[1_{A}] = \mathbb{P}(A). Ici je comprends.

Si X_1 et X_2 suivent toutes deux une loi de Bernoulli de paramètre p, pourquoi écrit-on que \mathbb{E}[X_1 X_2] = \mathbb{E}[1_{\{X_1 = 1\}} 1_{\{X_2=1\}}] = \mathbb{P}(X_1=1,X_2=1). Je ne comprends pas le passage de la première à la deuxième égalité.

Pareil pour ce cas :
Ici X suit une loi normale centrée réduite et Y=(2B-1)X avec B suivant une loi de Bernoulli de paramètre 1/2.
Ils écrivent \mathbb{E}[XY] =  \mathbb{E}[XY 1_{\{B=1\}}] + \mathbb{E}[XY 1_{\{B=0\}}].

Je ne comprends pas la logique de ces égalités Je dois avoir un problème avec les fonctions indicatrices mais je n'arrive pas à très bien comprendre.
Quelqu'un pourrait m'expliquer, même très brièvement ? Merci d'avance...

Posté par
jsvdbre : Espérances et fonctions indicatrices 23-03-18 à 00:40

Bonsoir Ennydra.
Si X_1 et X_2 suivent un loi de Bernoulli, alors :

X_1 prend la valeur 1 avec proba p\in [0;1] et 0 presque surement ailleurs.
Notons A_1 l'évènement (X_1 = 1).
On a donc X_1 = \mathbf 1_{A_1}~\mathbb P\text{-p.s.} (*)
Il est alors clair que \mathbb E(X_1) = \mathbb E(\mathbf 1_{A_1})=\mathbb P(X_1=1)=\mathbb P(A_1)

X_2 prend la valeur 1 avec proba q\in [0;1] et 0 presque surement ailleurs.
Notons A_2 l'évènement (X_2 = 1).
On a donc X_2 = \mathbf 1_{A_2}~\mathbb P\text{-p.s.}
Il est alors clair que \mathbb E(X_2) = \mathbb E(\mathbf 1_{A_2})=\mathbb P(X_2=1)=\mathbb P(A_2)

Si donc on fait le produit Y = X_1X_2 alors Y prendra la valeur 1 sur A_1 \cap A_2 et la valeur 0 presque surement ailleurs.
Notons A l'évènement X_1X_2 = 1.
Il est alors clair que A = A_1 \cap A_2 et  \blue Y = \mathbf 1_A~\mathbb P\text{-p.s.}= \mathbf 1_{A_1}.\mathbf 1_{A_2 }~\mathbb P\text{-p.s.}.

Donc \mathbb E(Y) = \mathbb P(A) = \mathbb P(X_1=1\text{ et } X_2 = 1)= \mathbb{E}[1_{A_1} 1_{A_2}]
___________________________________________
(*) la différence entre les deux va X_1 et \mathbf 1_{A_1} se situe en dehors de A_1.
En effet, sur A_1, X_1 et \mathbf 1_{A_1} coïncident, mais en dehors de A_1 les deux va peuvent différer sur un ensemble de mesure nulle;
d'où la présence du \mathbb P\text{-p.s.}

Posté par
jsvdbre : Espérances et fonctions indicatrices 23-03-18 à 01:03

Pour le second exemple, tu as compris qu'en présence d'une va B suivant la loi de Bernoulli de paramètre 1/2 sur un espace probabilisé, tu peux découper ton espace en deux évènements de proba non nulle : A_0 = (B = 0) et A_1 = (B= 1) et le dernier, A = (B\neq 1, B\neq 0) est de proba nulle.

Si B suit une Bernoulli de paramètre 1/2 alors 2B - 1 suit une binomiale b(0,5;0,5) (le succès est représenté par 1 et l'échec par -1).
Soit Y = (2B - 1)X. Il vient :
XY=(2B-1)X^2 = (2B-1)X^2\mathbf 1_{A_0}+(2B-1)X^2\mathbf 1_{A_1} ~\mathbb P\text{-p.s.}=-X^2\mathbf 1_{A_0}+X^2\mathbf 1_{A_1}~\mathbb P\text{-p.s.}

On conclut par linéarité de l'espérance que \mathbb E(XY) = \mathbb E(X^2\mathbf 1_{A_1}) - \mathbb E(X^2\mathbf 1_{A_0})

Posté par
carpediemre : Espérances et fonctions indicatrices 23-03-18 à 10:15

salut

c'est exact ... mais peut-être compliqué

soit X et Y des va suivant la loi de Bernoulli de paramètre p

il suffit alors de revenir à la définition de l'espérance après quelques remarques élémentaires :

1/ quelles sont les valeurs prises par la va XY ?

2/ quelle est par définition l'espérance de XY ?


le deuxième cas se traite quasiment de la même façon en adaptant un peu puisqu'on a une va continue ....


PS : il est emps d'apprendre le français !!!

on dit :

une loi de Bernoulli (il y en a une infinité puisque une loi de Bernoulli est définie à partir d'un paramètre)
la loi de Bernoulli de paramètre p (puisqu'on a maintenant un paramètre : c'est p (et ce quelle que soit sa valeur))

une loi normale (il y en a une infinité puisqu'une loi normale dépend de deux paramètres)
la loi normale centrée réduite (puisque ses paramètres sont 0 et 1 et définissent de façon unique cette loi normale)

parler le français avec rigueur permet de faire des mathématiques avec rigueur

Posté par
jsvdbre : Espérances et fonctions indicatrices 23-03-18 à 10:30

carpediem @ 23-03-2018 à 10:15

c'est exact

Merci ! ça fait toujours plaisir à entendre ( ... ou voir)

carpediem @ 23-03-2018 à 10:15

... mais peut-être compliqué

Ah bah oui !! mais bon tu me connais maintenant ...

carpediem @ 23-03-2018 à 10:15

parler le français avec rigueur permet de faire des mathématiques avec rigueur

Oui maître, je rectifie !
jsvdb @ 23-03-2018 à 01:03

Si B suit une Bernoulli de paramètre 1/2 alors 2B - 1 suit une binomiale b(0,5;0,5)

Si B suit la loi de Bernoulli de paramètre 1/2 alors 2B - 1 suit la loi binomiale b(0,5;0,5)

Repos sergent !

Posté par
carpediemre : Espérances et fonctions indicatrices 23-03-18 à 17:36

c'est bon tu peux partir en perm ...

Posté par
Ennydrare : Espérances et fonctions indicatrices 26-03-18 à 12:15

Merci beaucoup, beaucoup !!

Posté par
carpediemre : Espérances et fonctions indicatrices 26-03-18 à 18:07

carpediem @ 23-03-2018 à 10:15

salut

c'est exact ... mais peut-être compliqué

soit X et Y des va suivant la loi de Bernoulli de paramètre p

il suffit alors de revenir à la définition de l'espérance après quelques remarques élémentaires :

1/ quelles sont les valeurs prises par la va XY ?

2/ quelle est par définition l'espérance de XY ?



XY prend les valeurs 0 et 1

donc E(XY) = a * 0 + b * 1 = b = P(XY) = 1 ... où a et b sont ...

or P(XY = 1) = P(X = 1 et Y = 1) = P(X = 1)P(Y = 1)

la dernière égalité ayant lieu si X et Y sont indépendantes

donc la preuve tiens en trois lignes ...


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !