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Est-ce la Géode !?**

Posté par
Victor
23-11-04 à 15:05

L'aire et le volume d'une boule sont tous les deux des entiers à quatre chiffres multipliés par , exprimés respectivement en m² et en m3.
Quel est le diamètre de cette boule ?

Bon courage.
Clôture de l'énigme : mercredi soir.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Est-ce la Géode !?** 23-11-04 à 15:44

Pas de point pour moi SVP.

Juste pour le fun: diamètre = 36 m


Posté par mizoun (invité)réponse au problème 23-11-04 à 16:25

gagnéSalut tout le monde voici ma réponse :

Soit d le diamètre d'une boule , cherchons d tel que l'aire et le volume de la boule soit des entiers de 4 chiffres multipliés par .

L'aire d'une sphère est 4]r²
donc  1000<4(d/2)²<9999
      1000<d²<9999
      31.5<d<100

Le volume d'une boule est 4r^3/3
donc    1000<4(d/2)^3/3<9999
        1000<d^3/6<9999
        6000<d^3<6x9999
        18<d<40

   d doit etre entier et divisible par 6 pour que le volume de la sphère soit entier car 1000<d^3/6<9999
   Or dans l'intervalle [31;40] le seul nombre e ntier qui est divisible par 6 est 36 donc le diamètre de la boule est énorme : 36m.



Posté par gilbert (invité)re : Est-ce la Géode !?** 23-11-04 à 16:28

gagnéComme le volume et l'aire de la sphère sont des entiers, le rayon est un entier.
Le volume est égal à 4/3 R3, ce qui signifie que, si le volume comporte 4 chiffres,
R3est compris entre 750 et 7500 et donc R compris entre 10 et 19 inclus.
L'aire est égale à 4R2, ce qui signifie que, si l'aire comporte 4 chiffres,
R 2est compris entre 250 et 2500 et donc R compris entre 16 et 50 inclus.
L'intersection de ces deux intervalles est [16,19].
On sait que le volume est un entier donc R 3est un multiple de 3 et R aussi.
Seul 18 convient dans l'intervalle trouvé.
Le diamètre de la boule est donc de 36 m.

Posté par
dad97 Correcteur
re : Est-ce la Géode !?** 23-11-04 à 17:46

gagnéBonsoir,

Les données du problèmes peuvent nous donner des renseignements sur l'itervalle où doit se situer le rayon R de cette sphère :

On doit en effet avoir :

1000\le 4R^2\le 9999
1000\le \frac{4}{3}R^3\le 9999

d'où : 5\sqrt{10}\le R\le(\frac{9999\times 3}{4})^{\frac{1}{3}

Supposons (pourquoi pas ) que R est un entier :

alors on a donc R\in{16;17;18;19}

d'autre part par la formule du volume ce nombre R doit être divisible par 3 donc cela ne peut être que 18.
Essayons

4R^2=4\times 18^2=1296
\frac{4}{3}R^3=\frac{4}{3}\times 18^3=7776

Donc ma réponse est : 36 m

Salut

P.S. : j'aimerais chaleureusement exprimé ma gratitude à MS Excel pour m'avoir donner la solution

Posté par
franz
re : Est-ce la Géode !?** 23-11-04 à 18:51

gagnéUne sphère de rayon R a une aire S=4 \pi R^2 et un volume V =\frac 4 3 \pi R^3

Le volume étant un entier de 4 chiffres multiplié par \pi, le rayon est un entier multiple de 3 tel que
1000 \; \le \; \frac 4 3 R^3 \; \lt \; 10000
 \;\Longleftrightarrow\;750 \le R^3 \lt 7500
 \;\Longleftrightarrow\;10 \le R \le 19

L'aire étant un entier de 4 chiffres multiplié par \pi, le rayon vérifie
1000 \; \le \; 4 R^2 \; \lt \; 10000
 \;\Longleftrightarrow\;250 \le R^2 \lt 2500
 \;\Longleftrightarrow\;16 \le R \lt 50


En définitive, le rayon R est un entier multiple de 3 compris entre 16 et 19 d'où R = 18 m

Le diamètre de la sphère vaut \huge 36\;m

Posté par
Ksilver
et c parti ! 23-11-04 à 19:34

gagnébonjour !
on note la surface S, le volume V et le RAYON R
alors on rapelle que la surface d'un sphère c'est S=4piR^2 et que son volume c'est V=4/3*pi*R^3
le volume est un entier fois pi donc 4*R^3/3 est un entier, 4 n'est pas divisible par 3; donc R^3 est divisible par 3, et comme 3 est premier il faut que R sois divisible par 3 pour que R^n sois divisible par 3 donc R est un entier et est divisible par 3.

histoir de gagner un peu de temps on va dire que le volume est superieur a l'air (ce qui est le cas vu l'ordre de grandeur de la valeur de R qu'on peut donner)

donc il faut que V < 10000pi et S>=1000pi
sois
4/3*R^3 <10000 et 4R^2 >= 1000
R^3 <  7500 et R^2 >= 250

donc 250^(1/2)=< R < 7500 ^(1/3) et 3|R
et donc 15< R < 20

il ni a qu'un seul multiple de 3 compris strictement entre 15 et 20 : 18

donc R = 18 et donc le diametre de la sphere est de 36 mètres

c'est peut-etre la geode alors ?

Posté par
screen
re : Est-ce la Géode !?** 23-11-04 à 21:32

gagnéBonsoir,

J'ai trouvé le rayon (R) =18 (m) donc, le diamètre 36 (m).
Aire = 4**R2=4*324*= 1296 * (m2).
               4
Volume = --- **R3
               3
       4
V = --- * (18)3 *
       3

V = 7776 * (m3).

Posté par pinotte (invité)re : Est-ce la Géode !?** 24-11-04 à 01:49

gagnéLe diamètre est de 36 m.

L'entier à quatre nombres que l'on retrouve dans le calcul de l'aire équivaut à 4r2. Pour que l'entier ait quatre nombre, on trouve que r < 50 et r 16.

Pour le volume, l'entier est égal à \frac{4}{3}r^3. Pour que l'entier ait quatre nombres, on trouve que r < 20 et r 10.

Ainsi, r sera compris entre 16 et 20 (exclus).

On regarde pour les valeurs 16, 17, 18 et 19 si on obtient un nombre de quatre entiers. On trouve que r = 18. Alors, d = 36!

Posté par
Ptit_belge
Réponse au challenge "Est-ce la Géode?" 24-11-04 à 12:29

gagnéBonjour,

Voici ma proposition:

Soit R le rayon de la boule (en m). Je suppose que R est entier (l'énoncé ne le précise pas).

1) Si le volume de la boule est un entier à 4 chiffres multiplié par , on peut dire que (4/3)*R^3 est inférieur ou égal à 9999.
Ceci entraîne que:
a) R est inférieur à 19 (sinon (4/3)*R^3 est supérieur à 9999)
b) R est un multiple de 3 (sinon (4/3)*R^3 n'est pas entier)

2) Si la surface de la sphère est un entier à 4 chiffres multiplié par , on peut dire que 4*R^2 est supérieur ou égal à 1000.
Ceci implique que R est supérieur à 15 (sinon 4*R^2 est inférieur à 1000).

3) En combinant toutes les conditions, on constate que la seule valeur possible est R=18 m

En conclusion, le diamètre de la boule est 36 m.

Vérification: V=7776* m3 et S=1296* m2

Bonne après-midi

Posté par
Victor
re : Est-ce la Géode !?** 26-11-04 à 17:42

Bravo à tous pour ces bonnes réponses.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 06:31:39.
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