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Est-il premier?

Posté par
mathetudiant 13-03-21 à 11:15

Bonjour,
L'énoncé: Soit a. Le nombre a4+a2+1 est-il premier?
----------------------------------------------------------------------------------------------
Avant tout, j'ai essayé certains nombres pour avoir une idéé et j'ai remarqué que ce nombre n'est pas premier pour les nombres 1,2,3,4,5,6,7,8,9 etc. Je trouve qu'il divisible par 3 ou bien 31 ou bien 13 ou bien 43...etc. J'ai remarqué aussi que ce nombre est toujours impair et J'ai fait une petit démonstration :
                                        a4+a2+1=a4+2a2+1-a2
                                                            =(a2+1)2-a2

la parité de a est la meme de a2, la parité de a2  alors est différent à la parité de a2+1. Comme la somme de deux nombre de parité différent est impair alors a4+a2+1 est impair.

Je pense d'utiliser la décomposition des nombres premiers mais je ne sais pas comment.

Merci d'vance.

Posté par
PLSVUre : Est-il premier? 13-03-21 à 11:32

Bonjour,
Connaître seulement  les identités remarquables, et la définition d'un nombre  premier    peuvent être parfois très utiles.

Posté par
LeHiboure : Est-il premier? 13-03-21 à 12:30

Bonjour,

Comme te l'a suggéré PLSVU, une identité remarquable appliquée à la dernière ligne de ton joli calcul te permet de conclure

Posté par
mathetudiantre : Est-il premier? 13-03-21 à 12:42

PLSVU, LeHibou
Bonjour,

En fait, j'ai essayé sur mon brouillon mais J'ai vu rien. Mainteneant j'ai compris.
on a a4+a2+1=(a2+1)2-a2=(a2+1-a)(a2+1+a). Alors on a écrit ce nombre en facteurs de deux nombre, comme a n'égale pas ni à a2+1-a ni à a2+1+a, alors ce nombre est divisible par au moins deux nombres différents; alors il n'est pas premier.
Merci infiniment pour votre aider .

Posté par
ty59847re : Est-il premier? 13-03-21 à 12:51

Tu as trouvé la factorisation. Je ne pensais pas que tu trouverais.
Tu as fait 80% du job.
C'est dommage de se planter sur les 20% restants.
Corrige ta réponse.

Posté par
mathetudiantre : Est-il premier? 13-03-21 à 12:58

Salut ty59847
Mais, comment ça marche? J'ai pensé que mon raisonnement est suffisant. Pouvez vous me donne une autre indication?

Posté par
ty59847re : Est-il premier? 13-03-21 à 13:21

Tu dis dans ta réponse que le résultat est premier pour toutes les valeurs de a.

Calcule a4+a2+1 pour a = 0, ou pour a = -1 par exemple.
Le résultat obtenu est-il un nombre premier  ?

Les calculs me paraissent simples,  il n'y a pas de piège, mais tu as réussi à te tromper quand même.
Et surtout, c'est ça le plus gros problème, quand on te dit de vérifier / corriger, tu ne trouves pas ton erreur.

Posté par
LeHiboure : Est-il premier? 13-03-21 à 13:40

-> ty59847, tu écris :

Citation :
Tu dis dans ta réponse que le résultat est premier pour toutes les valeurs de a.

Je ne srois pas que mathetudiant ait jamais dit ça !

Tu écris également :
Citation :
Tu as trouvé la factorisation. Je ne pensais pas que tu trouverais.

Il y a un côté un peu méprisant dans cette phrase...

-> mathetudiant :
Bravo pour ton travail, il te reste un dernier point à valider. Pour que le nombre de départ soit effectivement non premier, il faut qu'aucun des deux facteurs que tu as trouvés ne soit égal à 1, ou si l'un des deux est égal à 1, il faut que l'autre soit factorisable en deux facteurs eux-mêmes différents de 1. Peux-tu creuser un peu plus ce point - en te rappelant que tu es sur ?

Posté par
azerti75re : Est-il premier? 13-03-21 à 14:00

Bonjour,

mathetudiant @ 13-03-2021 à 12:42

PLSVU, LeHibou

on a a4+a2+1=(a2+1)2-a2=(a2+1-a)(a2+1+a). Alors on a écrit ce nombre en facteurs de deux nombre, comme a n'égale pas ni à a2+1-a ni à a2+1+a, alors ce nombre est divisible par au moins deux nombres différents; alors il n'est pas premier.
Merci infiniment pour votre aider .


C'est faux
Tout d'abord tu n'as pas démontré que a 2 + 1 - a et a ² + 1  + a sont différents de a
Et même si tu l'avais fait, ça ne prouverait rien .
Exemple pour -1 on obtient a 4 + a² + 1 = 1 X 3 , qui est premier , alors qu'aucun des facteurs n'est égal à - 1

Posté par
ty59847re : Est-il premier? 13-03-21 à 14:16

LeHibou
J'assume le coté agressif de mon message. Dans une autre discussion, Mathetudiant dit qu'il veut aller en prépa. Personne n'a répondu à ce message.
Pour moi, il n'a pas du tout le niveau requis.
C'est mon point de vue, et je peux tout à fait me tromper.

Si il y avait ici ou là des messages disant qu'il a le niveau, je laisserais couler.
Mais je pense que tout le monde est aligné avec moi : il n'a pas le niveau pour aller en prépa.
Je pense qu'il faut lui faire passer ce message, qu'il n'a pas le niveau, et c'est pour ça que je me permets d'être un peu bourru. En prépa, il entendra certainement des phrases beaucoup plus dures !

Posté par
mathetudiantre : Est-il premier? 13-03-21 à 14:51

azerti75, LeHibou, ty59847
Merci à tous. Oui très bien mon démonstration n'est pas suffisant car il est faux pour -1, 1 et presque pour des autres nombres. J'ai pensé d'une méthode simple.
On remarque que:

a=1, (a2+1-a)(a2+1+a)=3 [(a2+1-a)(a2+1+a) est premier]
a=-1, (a2+1-a)(a2+1+a)=3 [(a2+1-a)(a2+1+a) est premier]
a=0, (a2+1-a)(a2+1+a)=1 [(a2+1-a)(a2+1+a) n'est pas premier]
Mais ça n'est pas suffisant car on doit étudié le cas général. Pour ça, je propose le raisonnement suivant.

Dans le cas de a=0, (a2+1-a)=(a2+1+a)=1. Mais 1 n'est pas premier alors mon dernier raisonnement est valable pour a=0. Par suit je dois chercher tout les valeurs possibles de a qui vérifient la proposition suivante: a est différent de (a2+1-a)et de (a2+1+a). Alors je vais résoudre les deux équations suivantes: (a2+1-a)=a et (a2+1+a)=a. La première est équivalente à: (a-1)2=0 ce qui donne a=1 ou a=-1. La deuxième est équivalente à: a2+1=0 ce qui est impossible. Alors (a2+1-a)(a2+1+a) n'est pas premier a1 et a-1.
Conclusion: a4+a2+1 est premier pour tout les entiers relatifs différents de1 et de -1.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Remarque importante:
Pourquoi j'ai traité seulment le cas où (a2+1-a)=a et (a2+1+a)=a? Car les nombres premiers, s'ils admettent une factorisation, elle s'écrit en deux façons seulement. D'autre termes: est premier alors n'admet aucune factorisation que: -1 ou 1.

Posté par
azerti75re : Est-il premier? 13-03-21 à 15:14

mathetudiant @ 13-03-2021 à 14:51


Alors je vais résoudre les deux équations suivantes: (a2+1-a)=a et (a2+1+a)=a. La première est équivalente à: (a-1)2=0 ce qui donne a=1 ou a=-1.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Déjà là il y a une erreur

Posté par
azerti75re : Est-il premier? 13-03-21 à 15:19

Et de toutes les façons, ce n'est pas bon ce que tu fais car il pourrait très bien y avoir un ou plusieurs entiers pour lesquels on obtiendrait: a4 + a² + 1 = 1 X (un nombre premier quelconque différent de a) , sans qu'aucun des facteurs ne soit égal à a .

Posté par
PLSVUre : Est-il premier? 13-03-21 à 15:23


mathetudiant
relis -tu tes propres messages ?

Citation :
a4+a2+1 est premier pour tout les entiers relatifs différents de1 et de -1.


Citation :
j'ai essayé certains nombres pour avoir une idéé et j'ai remarqué que ce nombre n'est pas premier pour les nombres 1,2,3,4,5,6,7,8,9 etc. J

il me semble qu'il y  a une contradiction

Posté par
azerti75re : Est-il premier? 13-03-21 à 15:29

Résous dans R: (a - 1)² = 0

Posté par
azerti75re : Est-il premier? 13-03-21 à 15:45

Résous dans R : a - 1 = 0,
puis résous dans R : (a - 1) ² = 0

Posté par
mathetudiantre : Est-il premier? 13-03-21 à 16:46

ty59847

Je sais tout ça. Merci infiniment et je suis désolé pour mon niveau.

     Je Vais aller en prépa.

Posté par
carpediemre : Est-il premier? 13-03-21 à 17:06

salut

je suis ni pour ni contre ... bien au contraire !!! comme dirait l'autre ...

j'ai suivi de loin mais n'étais pas encore intervenu vu qu'il y a avait du monde ...

intervenant dans différents fils de mathetudiant j'y vois déjà beaucoup de pb de français aussi j'aurai une question en préambule :

de quelle origine es-tu ?

parce que cela pourrait dans une certaine mesure justifier beaucoup de confusions et de manque de rigueur qui effectivement te pénaliseront en prépa ...



pour tout entier (relatif) n je pose m = n^4 + n^2 + 1

on en déduit donc que m = n^4 + n^2 + 1 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1) = p \times q

vu que tout entier est multiple de 1 et que tout nombre premier n'est pas multiple d'autre chose que de 1 et lui-même je ne chercherai pas si l'un des facteurs p ou q vaut 1 mais plutôt quand est-ce que l'un de ces facteurs vaut m

parce que que m soit premier ou non on a toujours m = 1 * m mais aussi d'autre décomposition quand m n'est pas premier et pas d'autre si m est premier

m = p \iff n^4 + n = 0 \iff n(n^3 + 1) = 0 \iff n = 0 $ ou $ n = -1 \\ \\ m = q \iff n^4 - n = n (n^3 - 1) = 0 \iff n = 0 $ ou $ n = 1

donc pour toute autre valeur de n il est certain que m n'est pas premier !!

et il ne reste qu'à regarder ce qui se passe pour ces trois valeurs ...

Posté par
mathetudiantre : Est-il premier? 13-03-21 à 17:14

carpediem

Oui c'est ça l'idée mais j'ai, une autre fois, perdu ma concentration.

Je suis du Maroc. Mais je travaille les maths en français.

Posté par
azerti75re : Est-il premier? 13-03-21 à 18:02

A mon avis (mais je me trompe peut-être), il manque quelque chose dans la démonstration de Carpediem:

On pourrait très bien obtenir ; n 4 + n 2 + 1 = -1 X ( - 3) (c'est juste un exemple au hasard)qui est premier sans qu'aucun des facteurs ne soit égal à m.
Donc il faut préciser que n 2 + n + 1 est positif.

J'aime bien pinailler

Posté par
carpediemre : Est-il premier? 13-03-21 à 18:15

tu as raison de pinailler

effectivement les deux facteurs p et q sont strictement positifs

Posté par
LeHiboure : Est-il premier? 13-03-21 à 21:19

Citation :
Je pense qu'il faut lui faire passer ce message, qu'il n'a pas le niveau

Je pense, moi, que c'est le dernier des messages à faire passer à un étudiant comme notre ami. mathetudiant a sans doutes des lacunes, mais il a aussi fait la preuve de sa capacité à chercher. Je lui conseillerai au contraire de continuer à travailler, et nous sommes ici pour l'aider à progresser. Après, certains préfèrent la carotte, d'autres le bâton, et il faut certainement des deux.

Je conclurai avec un aphorisme pêché sur FB dans une page de photographes, et ces gens-là ne sont pas tendre entre eux :
Citation :
A leurs débuts, tous les chênes, même les plus majestueux, étaient des glands

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Est-il premier? 13-03-21 à 21:32

J'aime

Posté par
mathetudiantre : Est-il premier? 14-03-21 à 11:04

LeHibou, Sylvieg, carpediem, azerti75, ty59847PLSVU.
-------------L'énoncé---------------------------------------------------------------------------
Soit a. Le nombre a4+a2+1 est-il premier?                                                                                                                                                                
--------------------------------------------------------------------------------------------------
On a:                                                    a4+a2+1=a4+2a2+1-a2
                                                                                    =(a2+1)2-a2
                                                                                    =(a2+a+1)(a2-a+1)

D'après la définition d'un nombre premier, p est premier et positif si et seulment s'il admet exactement 4 diviseurs:1, -1, p, -p. C-à-d on peut écrire p exactement sous deux formes: (-1)(-p) ou (1)(p).

Pour simplifier le calcul, on peut calculer discriminent de (a2+a+1) et de (a2-a+1). Le discriminent dans chaque cas est négative alors ils ont le meme signe de a2 (positive) pour tout les entiers relatifs a.

Si a4+a2+1 est premier, et puisqu'il s'écrit sous la forme de deux facteurs, on trouve:

                                    [a2+a+1=a4+a2+1et a2-a+1=1] ou [a2+a+1=1 et a2-a+1=a4+a2+1]
                                  Alors:                             [a4=a et a2=a]ou[a(a+1)=0 et a4=-a]
                                     Donc:                             [a=1 ou a=0] ou [a=0 ou a=-1]
                                           D'ou:                                             a=0 ou a=1 ou a=-1

Dans le cas de a=0 on trouve: a4+a2+1=1 et 1 n'est par premier. Par contre pour a=1 et a=-1.

Donc: a4+a2+1 est premier a{-1,1}
Par suite, a4+a2+1 n'est pas premier pour tout a-{-1,1}.

Posté par
matheuxmatoure : Est-il premier? 14-03-21 à 11:19

bonjour

quelle confusion !

déjà tous les trucs mis en jeu sont toujours strictement positifs ... que ce soit (a4+a2+1), (a2+a+1) ou (a2-a+1)


(a4+a2+1) =  (a2+a+1) (a2-a+1)

est une factorisation... donc tendrait à prouver que (a4+a2+1) n'est pas premier, à moins que l'un de ces facteurs ne vaille 1

a2+a+1 = 1 dans le cas où a=0 ou -1
dans ce cas
pour a = 0 , a4+a2+1 = 1 donc n'est pas premier
pour a = -1 , a4+a2+1 = 3  donc est premier

a2-a+1 = 1 dans le cas où a=0 ou 1
le cas a=0 est déjà analysé
pour a = 1 , a4+a2+1 = 3  donc est premier

si a {-1 ; 0 ; 1}, (a4+a2+1) est un produit de 2 nombres positifs dont aucun ne vaut 1, donc n'est pas premier

conclusion :

pour a= 1 ou -1 , (a4+a2+1) est premier
pour a {-1 ; 1} , (a4+a2+1) n'est pas premier

Posté par
carpediemre : Est-il premier? 23-09-21 à 16:26

JFF :

le produit (a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1) est le même que le produit [(-a)^2 + (-a) + 1][(-a)^2 - (-a) + 1]


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