Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Estimateur efficace

Posté par
Lili6 16-01-19 à 23:39

Bonjour,
Il y'a un truc bizarre avec cet exercice

On considère un échantillon $( X_1,..., X_n)$ issu d'une loi exponentielle de moyenne $\lambda$ . Montrer que l'estimateur du maximum de vraisemblance de $\lambda$ est efficace

C'est quoi ce truc ''loi exponentielle de moyenne $\lambda$ ''
Normalement, c'est $\mathcal{E}( \lambda )$ où $\lambda$ c'est le paramètre inconnu habituel... Mais dans ce cas l'estimateur de $\\ \lambda$ est biaisé donc pas efficace

Posté par re : Estimateur efficace 17-01-19 à 16:12

Bonjour.

Si $\mu$ désigne un réel strictement positif, alors $\mathcal E(\mu)$ est la loi qui a pour densité
$x\mapsto \mu\textrm{e}^{-\mu x}1_{\{x>0\}}$ .
Alors on vérifie simplement que l'espérance de cette loi vaut $\frac{1}{\mu}$ . Donc la loi exponentielle de moyenne $\lambda$ est $\mathcal E(\frac{1}{\lambda})$ .

Attention, pour les Anglophones, la loi exponentielle $\mathcal E(\mu)$ a pour densité
$x\mapsto\frac{1}{\mu}\textrm{e}^{-\frac{1}{\mu}x}1_{\{x>0\}}$ ,
de telle sorte que l'espérance est $\mu$ et non pas $\frac{1}{\mu}$ . Du coup, au lieu de parler de loi exponentielle de paramètre $\mu$ , ils parlent souvent de loi exponentielle de moyenne $\mu$ .

Pour résumer :
Si on parle de loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , cela peut désigner $\mathcal E(\frac{1}{\lambda})$ ou $\mathcal E(\lambda)$ selon que l'on parle français ou anglais.
Mais si on parle de loi exponentielle de moyenne $\lambda$ , alors l'ambiguïté est levée.