Niveau école ingénieur

Estimateur optimal

Posté par
toureissa 15-12-21 à 06:02

Bonjour ,
j'aurai besoin de votre aide sur cet exercice.
On desire estimer le parametre $\theta$ de la loi uniforme sur l'intervalle $]\theta ,2\theta[$ sur la base d'un échantillon de taille n.

1. Déterminer l'esperance de Y=min Xi et Z=max Xi et determiner a et b tels que aY et bZ soit des estimateurs sans biais de $\theta$ .

Ici je n'ai pas rencontrer de probleme. Après avoir determiner les densités de Y et Z , j'ai calculé l'esperance e de Y et Z qui valent:

$E(Y)=\frac{n+2}{n+1}\theta$ et

$E(Z)=\frac{2n+1}{n+1}\theta$ , donc :

$a=\frac{n+1}{n+2}$ et $b=\frac{n+1}{2n+1}$ .

2. Montrez que bZ dominent aX au sens du risque quadratique.

Ici, j'ai calculé les deux risques :
$R(\theta ,bZ)=\frac{(n+1)\theta ^{2}}{(n+2)(2n+1)^{2}}$

$R(\theta ,aY)=\frac{n\theta ^{2}}{(n+2)^{3}}$
ensuite j'ai

$R(\theta ,aY)\geq R(\theta ,bZ)$ .

J'aimerai savoir s'il n'ya pas l'application du théorème de Rao-Blackwell.

Posté par re : Estimateur optimal 15-12-21 à 14:12

Salut,

si je ne me trompe pas, pour Rao-Blackwell, on a besoin d'une statistique exhaustive, et ces dernières n'existent pas toujours. Il me semble d'ailleurs que l'on peut appliquer le théorème seulement si le modèle statistique appartient à la classe exponentielle, ce qui n'est clairement pas le cas de la loi uniforme puisque son support dépend du paramètre à estimer.

Posté par re : Estimateur optimal 15-12-21 à 18:45

D'accord , donc ontrez la dominance revient juste a comparer les risques ?