Niveau LicenceMaths 2e/3e a

estimateurs

Posté par
mousse42 12-03-21 à 00:14

Bonsoir,
Soit $X$ une v.a. discrète de loi   $\theta\delta_0+\dfrac{1-\theta_0}{2}\delta_{-1}+\dfrac{1-\theta_0}{2}\delta_{1}$
où $theta_0\in ]0,1[$ est l'inconnue.

1) Proposer une paramétrisation $(\Theta,(\mu)_{\theta\in \Theta})$
2) Déterminer l'estimateur  du maximum de vraissemblance $\hat\theta_n^V$ pour ce modèle, ainsi que l'estimateur   $\hat\theta_n^M$ par la méthode des moments. Que constate-t-on? Montrer que $\hat\theta_n^V$ est sans biais.
3) Calculer le risque quadratique de   $\hat\theta_n^M$

_______________Question n°1___________________
J'ai proposé   $(\Theta,(\mu_\theta)_{\theta\in \Theta})=(]0,1[, (\mu_\theta)_{\theta\in \Theta})$ avec $\mu_\theta= \sum_{k\in X(\Omega)}\left(\dfrac{1-\theta_0}{2}\right)^{|k|}\theta^{1-|k|}\delta_k$

_______________Question n°2___________________

$L_n(\theta)=\prod_{i=1}^n\left(\dfrac{1-\theta_0}{2}\right)^{|X_i|}\theta^{1-|X_i|}$ avec $\ell_n(\theta):=\ln\big(L_n(\theta)\big)$

On a $\ell_n(\theta)=\ln\left(\dfrac{1-\theta}{2}\right)\sum_{i=1}^n|X_i|+n\ln (\theta)-\ln (\theta) \sum_{i=1}^n|X_i|$

$\ell_n'(\theta)=-\dfrac{\sum_{i=1}^n|X_i|}{2(1-\theta)}+\dfrac{n-\sum_{i=1}^n|X_i|}{\theta}$

Avec $\ell_n'(\theta)=0\iff \theta=1+\dfrac{\sum_{i=1}^n|X_i|}{\sum_{i=1}^n|X_i|-2n}$
$\boxed{\hat\theta_n^V:=1+\dfrac{\sum_{i=1}^n|X_i|}{\sum_{i=1}^n|X_i|-2n}}$

Pour l'estimateur $\hat\theta_n^M$ , on ne peut rien tirer du moment d'ordre 1, alors on choisit $E(X^2)=1-\theta$ , dès lors on pose $\hat\theta_n^M:=1-\bar{X_n^2}$

$E(\hat\theta_n^M)=E(1-\bar{X_n^2})=1-E(\bar{X_n^2})=1-E(X_1^2)=1-(1-\theta)=\theta$

Je ne vois pas comment montrer que $\hat\theta_n^V$ est sans biais

Je ne sais pas répondre à la question "que constate-t-on", une fois $\hat\theta_n^V$ et $\hat\theta_n^M$ déterminés

_______________Question n°3___________________

j'ai caclulé la limite de $E\Big[(\hat\theta_n^M-\theta)^2\Big]$

Sans développer les calculs je trouve $E\Big[(\hat\theta_n^M-\theta)^2\Big]=\dfrac{V(X_1)}{n}\to 0$

Posté par re : estimateurs 12-03-21 à 00:27

Petit correctif en rouge
______________Question n°3___________________

j'ai caclulé la limite de $E\Big[(\hat\theta_n^M-\theta)^2\Big] \\$
Sans développer les calculs je trouve $E\Big[(\hat\theta_n^M-\theta)^2\Big]=\dfrac{V(X_1^{\textcolor{red}2})}{n}\to 0$