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Niveau terminale
et oui encore les polynomes
Posté par bpmzor (invité)
slt a tous.
c 'est encore un probleme de polynome mais plus dur^^
Démontrez que les divisions suivantes sont exactes
1) (x^(3a) + x^(3b+1) + x^(3c+2))/ (x^2 +x+1)
est-ce que vous pourriez faire les etapes, merci d'avance.
Posté par Graubill (invité)re : et oui encore les polynomes
Pour a = 0
x^0/(x²+x+1) = 1/(x²+x+1)
Donc le reste de la division est 1.
Demonstration par recurence:
On suppose que le reste de la division de x^3a est 1 pour a € N.
on veut montrer que c'est la cas pour a+1
x^(3a+3)/(x²+x+1)=(x^(3a+1)*(x²+x+1) -x^(3a+2) -x^(3a+1))/(x²+x+1)
x^(3a+3)/(x²+x+1)= x^(3a+1) - ( x^3a *(x²+x+1) + x^3a)/(x²+x+1)
x^(3a+3)/(x²+x+1)= x^(3a+1) - x^3a + x^3a/(x²+x+1)
Comme le reste de la division de x^3a est 1, le reste de la division de x^3(a+1) est 1 aussi.
Donc on a montré que x^3a/(x²+x+1)= Pa(x) + 1/(x²+x+1)
ou Pa(x) est un polynome.
De meme on montre par recurrence que:
x^(3b+1)/(x²+x+1)= Pb(x) + x/(x²+x+1)
et
x^(3c+2)/(x²+x+1)= Pc(x) + (-x-1)/(x²+x+1)
Donc (x^(3a) + x^(3b+1) + x^(3c+2))/ (x^2 +x+1)=Pa(x)+Pb(x)+Pc(x).
C'est bourrin mais j'ai pas d'idée plus subtiles pour l'instant.