les restes de la division euclidienne par 7 de
1, 10 , 100, 1000, 10000, 100000 sont 1, 3, 2, 6, 4, 5

Bonsoir,

bof .. un critère de divisiblité par 7 certes, mais sera-t-il utilisable ?

dans le critère par 9 tu avais 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1

donc à chaque puissance de 10 c'était toujours 1 fois le chiffre, donc la simple somme

ici
1 = 0*7 + 1
10 = 7 + 3 comme tu l'as fait remarquer.
100 = 98 + 2 = 7*14 + 2
1000 = 1001 - 1 = 143*7 - 1
10000 = 9996 + 4 = 1428*7 + 4
100000 = 100002 - 2 = 14286*7 - 2
1000000 = 999999 + 1 = 142857 + 1
etc ...
( et si tu penses à 1/7 = 0.142857142857142857142857... tu en déduis que cette séquence de restes va se reproduire périodiquement)

Le résultat est un "critère (hum) de divisibilité par 7" à partir des chiffres du nombre

en commençant par les unités, tu affectes chaque chiffre des poids :
1, 2, -1, 4, -2, 1, 2, -1, 4, -2, 1, 2, -1, 4, -2 etc ...
pour en faire la somme pondérée.
et éventuellement tu recommences sur la somme obtenue jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un nombre de un seul chiffre qui sera le reste de la division par 7

je te laisse mettre ça en forme pour le montrer rigoureusement, à partir de l'écriture décimale du nombre à tester
...a₅a₄a₃a₂a₁a₀ = a_i10ⁱ

Merci beaucoup !! Je vais essayer de démontrer ça en suivant vos conseils !

ca à l'air plus simple que le courrier précédent...

Énoncé
Un nombre est divisible par 7 si et seulement si le résultat d - (2 × a0) de la soustraction du nombre de dizaines par le double du chiffre des unités est multiple de 7.
Exemple  :
273
nombre de dizaines : 27 ; chiffre des unités : 3
27 - (2 × 3) = 27 - 6 = 21 est divisible par 7, donc 273 l'est aussi.
Démonstration —
A = (d × 10) + a0. Posons B = d - (2 × a0) et montrons (en utilisant que 21 est multiple de 7), que A est divisible par 7 si et seulement si B l'est.
A = (10 × B) + (21 × a0) donc si B est divisible par 7 alors A aussi.
B = (-2 × A) + (21 × d) donc si A est divisible par 7 alors B aussi.

Un petit errata. dans la démo j'ai bien traité le "3" (ou -4) des dizaines, mais dans la conclusion ce "3" avait disparu.
la séquence des poids est donc

1, -4, 2, -1, 4, -2, 1, -4, 2, -1, 4, -2, ...
le premier -4 est remplaçable par +3 si on veut éviter autant que possible les résultats négatifs :
1, 3, 2, -1, 4, -2, 1, -4, 2, -1, 4, -2, ...

Bon, après ce meaculpa...
d'autres critères, certes, mais on parlait d'un critère sur les chiffres du nombre, toi tu considères juste les dizaines c'est à dire que en gros ton critère ne s'applique qu'à des nombres d'au plus 3 chiffres

si tu veux l'appliquer à 35278416887, tu es obligé de le recommencer successivement une dizaine de fois, autant faire la division, ça va plus vite !
"1, -4, 2, -1, 4, -2" ça donne : (j'avais oublié le -4 = 3 du début

7 +3*8 +2*8 -6 +4*1 -2*4 +8 -4*7 +2*2 -5 +4*3 = 28, divisible par 7

Ouais, bon, pas très pratique non plus mais l'énoncé disait bien :

Bonsoir et merci pour vos réponses. Je bloque cependant un peu lorsqu'il s'agit d'"attribuer des poids"aux chiffres.

Voici ma démarche jusqu'au blocage :

Soit A=a0+10a1+100a2+1000a3+10000a4 etc...
On a A=(7*0+1)a0+(7+3)a1+(7*14+2)a2 etc..
Si 7 divise A alors on a A=a0+3a1+2a2 etc...

mais je ne sais pas si cette dernière phrase est vraie...je cherche à comprendre la méthode dite "d'attribution de poids..."

On a A=(7*0+1)a0+(7+3)a1+(7*14+2)a2 etc..
Si 7 divise A alors 7 divise a0+3a1+2a2 etc...

Merci, j'aboutis donc à ce résultat mais je ne vois pas en quoi cela me permet de répondre à la question qui m'est posée...

cette dernière phrase n'est pas vraie
A n'est pas égal à 0+3a1+2a2 etc.

c'est "si 7 divise A alors 7 divise aussi A' = a0+3a1+2a2 etc.. (qui n'est pas égal à A !)" et réciproquement
tout est dans ce "et réciproquement" qui permet de dire que si A' = a0+3a1+2a2 etc.. est divisible par 7, alors A est divisible par 7 et fait de ça un critère de divisibilité et pas un simple calcul pour se faire plaisir.

Merci encore... reste encore à déduire de calcul un critère de divisibilité qui concerne l'écriture décimale du nombre divisé...

critère de divisibilité par 9 :
A est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres (chacun multiplié par 1 = affectés du poids 1) est divisible par 9
(et comme 9 = 3² ça marche aussi pour 3)

Critère de divisibilité par 11 :
A est divisible par 11 si et seulement si la somme de ses chiffres affectés des poids 1, -1, 1, -1 etc.. (somme alternée) est divisible par 11

Critère de divisibilité par 7 :
A est divisible par 7 ssi la somme de ses chiffres affectés des poids 1, -4, 2, -1, 4, -2, 1, -4, 2, -1, 4, -2, ... (en partant du chiffre des unités) est divisible par 7
(on répète la séquence des 6 poids 1, -4, 2, -1, 4, -2 jusqu'à épuisement des chiffres de A, le -4 peut être remplacé par +3)

bon, c'est sûr que tous les poids égaux à 1 c'est facile...
Pour 7 on n'a pas cette chance.

Merci ! Je crois avoir compris, peut-on conclure que pour qu'un nombre soit divisible par 7, il faut que la somme des chiffres de son écriture décimale, lorsqu'ils sont multipliés respectivement par la séquence 1,-4,2,-1,4,-2, soit divisible par 7 ? Que dire alors d'un nombre qui serait composé de 1 à 5 chiffres ?

la séquence répétée tu l'arrètes bien sûr au dernier chiffre de A !!

si tu veux tu peux comprendre ça comme : en complètant à gauche A par des 0,
par exemple 2371 écrit 002371, tu vois bien que ces 0 multipliés par quelque poids que ce soit donneront 0 et n'ajouteront donc rien à notre somme de chiffres pondérés.
donc ta séquence de poids s'arrète ici à 1, -4, 2, -1 et c'est fini, les poids suivants de la séquence ne sont pas utilisés.

(et pour faciliter les calculs, comme je le signalais, on peut remplacer les "-4" par des "+3" quand on veut. Ici il serait certainement plus judicieux de faire 1, 3, 2, -1 plutot que 1, -4, 2, -1)

Merci beaucoup pour votre aide très précise !