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Etiquette sans gommette
Bonjour à tous 😊
Une petite énigme pour tous .
J'avais mis de côté une jolie feuille rectangulaire 23 cm X 19 cm dans l'espoir d'y découper quelques étiquettes rectangulaires 7 cm X 5 cm . Malheureusement ma petite fille a gentiment décorée la feuille avec 9 gommettes ( circulaires ) de diamètre 1 cm que je peux pas enlever sans tout déchirer . Suis-je tout de même assuré de pouvoir extraire une étiquette libre de gommettes de cette feuille ?
On peut blanker sans abus 
Amusez-vous bien .
Imod
Bonjour Imod,
j'ai inversé le problème en demandant à ma petite fille (plus âgée que la tienne 
)de m'empêcher stratégiquement de tracer un rectangle de 7x5.
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Quitte à inverser le problème , il serait malin de chercher à placer un maximum d'étiquettes dans la feuille que l'on peut supposer quadrillée
Imod
Après , je n'ai aucune certitude sur le nombre de vignettes nécessaires pour interdire le découpage d'une étiquette .
Imod
Salut à tous et bonne année 2025.
Je suis certain que l'on peut toujours couper au moins une étiquette ( voir plus ).
Si on regarde les deux grilles de découpe prévisionnelles ci-dessous, on voit qu'il n'y a pas beaucoup de possibilités pour placer les gommettes telles qu'aucune des étiquettes prévues ne soit découpable.
Il faudrait une preuve simple de l'existence d'au moins une étiquette dans le cas de 9 gommettes . Après le nombre de gommettes nécessaire pour interdire tout découpage , c'est autre chose , d'autant que les étiquettes peuvent être de travers .
Il semble clair que sans gommette on peut découper au moins ( au plus ? ) 10 étiquettes .
Imod
Sans gommettes on peut découper au moins 11 étiquettes, voir le découpage rouge, ou le vert, ci-dessus.
Je le remet car il est peut lisible.
Avec 9 gommettes bien placées on limite le traçage à 2 étiquettes de 5x7.
Sauf erreur avec une de plus on enlève ces 2 possibilités.
Bravo Imod, ton image est bien une démonstration.
Je crois que l'on peut toujours découper au moins deux étiquettes.
Pour rester dans l'esprit initial:
*Je pense que l'on pourra tracer des étiquette dans tous les cas si
les 9 gommettes sont placées au hasard .
*il existe un placement (hors symétries ) qui ne laisse le choix qu'à
deux emplacements (mon dessin du 06 à 18 h33.
* que le minimum de gommettes pour bloquer est 10 en rajoutant
la position verte.
Pour 9 étiquettes , le problème est réglé dans le cas général avec mon dessin car il y a 10 étiquettes et 9 gommettes qui ne peuvent pas traverser 2 étiquettes . J'ai du mal à croire qu'une position de ces gommettes ne laisse que 2 positions possibles pour les étiquettes . Par contre je veux bien croire que 10 gommettes peuvent interdire le découpage d'une étiquette mais il faudrait donner la position exacte de leurs centres pour s'en assurer .
Je ne suis pas sûr que le problème soit tout à fait clos
Imod
Un exemple d'étiquette qui pourrait trouver une place :
Et si on remonte la gommette verte on risque de faire apparaître un espace en bas . Il faut donc regarder attentivement les positions des gommettes .
Imod
Il semble que la position de la pastille verte soit déterminante.
Dans mon dessin en la bougeant très légèrement :
je bloque le seule horizontal et le seul vertical mais aussi l'oblique
NE et l'oblique SE. Un petit calcul devrait le vérifier en fonction des
angles et des intersections avec les gommettes rouges de diamètre 1
La figure est symétrique par rapport au centre de la feuille : il y a 2 gommettes vertes . En fait tout se passe dans le rectangle rouge , on doit pouvoir sans sortir avec Pythagore , je jette un coup d'œil .
Imod
Bonjour
10 gomettes bloquent tout (dessin de dpi).
Coordonnées des centres.
5.49_13.51
11.53_13.51
17.51_13.51
5.49_9.5
9.52_11.51
Les 5 autres symétriques par rapport au centre du rectangle.
Les valeurs que tu donnes ( je n'ai pas vérifié ) sont quasiment demi-entières . On pourrait donc penser qu'en doublant les valeurs initiales on arriverait à bloquer la position en déplaçant très légèrement certains centres initialement à coordonnées entières .
C'est cette position qui est importante , je regarde quand j'ai un peu de temps
Imod
Moi aussi j'ai horreur des calculs mais j'aime comprendre sans géométrie assistée
En doublant toutes les dimensions et en arrondissant au plus près les mesures de Derny , on a des gommettes de rayon 1 collées sur un rectangle 46 X 38 . En partant d'un angle de la feuille , les coordonnées des centres sont (11,11) , (11,19) , (11,27) , (19,23) , (23,11) , (23,27) , ( 27,15) , (35,11) , (35,19) (35,27) . On va devoir bouger légèrement certaines d'entre elles pour bloquer le passage d'une étiquette 10 X14 . Lesquelles et comment ?
Imod
Au sujet des coordonnées entières:
a) il m'étonnerait que ta petite fille ait placé ses gommettes ainsi
b) ton idée de multiplier par deux avec centre des gommettes sur un
nombre entier est contraire à l'idée de blocage...
Pour la première on voit bien que la pastille rouge (10;10) bloque mais
qu'une pastille orange (11-
;11- )
bloquerait dans une position plus favorable pour la suite.
Toutefois comme avec 38x46 ,désormais le rayon est 1, en gardant les on devrait facilement calculer les coordonnées des 10 pastilles de blocage.
Les petits points rouges figurent les points de contacts .
La symétrie peut éviter certains calculs.
Ma figure ne laisse place à aucune étiquette 10x14.
Bonjour
Il est évident que si on veut que les centres des gommettes soient à coordonnées entières, 10 gommettes sont insuffisantes.
En arrondissant les coordonnées de Derny à l'entier le plus proche on obtient le schéma suivant :
Les étiquettes sont de taille 14 X 10 . Bien sûr il y a un passage au niveau des 10 que l'on peut annuler facilement en décalant d'un epsilon . Il reste la possibilité de passage entre les étiquettes 4-6-7-9-10 ou 1-2-4-5-7 . Un petit coup de Pythagore montre que ça ne passera pas entre 4 et 7 et il est presqu'évident qu'une étiquette ne peut pas s'insinuer dans les coins inférieurs gauches et supérieurs droits .
Le problème du minimum de blocage est donc résolu .
Imod
C'est bien de multiplier les points de vue car nous avons tous des fonctionnements différents . Personnellement je vois mieux les choses sur le schéma "fonctionnel" que j'ai proposé mais je comprends tout à fait ceux qui préfèrent un tracé précis
Imod
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