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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Etre tangente à l'ordre n, définition

Posté par
Thomasdxb
05-08-22 à 15:23

Bonjour,

Voici une définition :

Soient U un ouvert de E, un espace vectoriel normé, et f une application de U dans F, un espace vectoriel normé. Soit a un point de U.
On dit que f est tangente à zéro à l'ordre n au point a, et on écrit f(x)=o(\|x-a\|_E^n), si \forall \epsilon >0, \exists \eta >0, \forall x\in U, ||x-a\|_E\le \eta implique \|f(x)\|_F\le \epsilon \|x-a\|_E^n.

Egalement, on dit que deux applications f et g de U dans F sont tangentes à l'ordre n en a si f-g est tangente à zéro à l'ordre n au point a.

Je ne comprends pas bien le sens de cette définition.
Si mes deux applications f et g sont tangentes à l'ordre n en a, je peux donc avoir par exemple f(x)=h_1(x)+o(\|x-a\|_E) et f(x)=h_2(x)+o(\|x-a\|_E) et donc f(x)-g(x)=(h_1(x)-h_2(x))+o(\|x-a\|_E), et f-g n'est pas tangente à zéro à l'ordre n au point a. Ou alors je n'ai pas saisi la définition ?

Merci pour vos lumières

Posté par
Zrun
re : Etre tangente à l'ordre n, définition 05-08-22 à 16:00

Justement si tu supposes par exemple une tangence à l'ordre n en a de f et g, cela veut dire avec les mains que les n premiers termes d'un DL de f et de g en a sont les mêmes ...

Donc dans ton cas, ça revient exactement à dire que h_1(x) = h_2(x) + o(||x-a||_E) . Si tu veux montrer ça formellement, tu peux partir de || f - h_1 - g + h_2 || et utiliser une minoration de l'inégalité triangulaire ...

Posté par
ty59847
re : Etre tangente à l'ordre n, définition 05-08-22 à 20:23

On va prendre un exemple très simple.
J'ai une première courbe :
y = 1+4x+5x2+7x3-11x4
La droite tangente à cette courbe au point d'abscisse x=0, c'est la droite d'équation y=1+4x
Pour reprendre la notation introduite ici, c'est une tangente à l'ordre 1.
Mais si on fait un dessin, on voit que la 'tangente' est de mauvaise qualité.
Pour x=0.001, l'écart entre la courbe et sa tangente est déjà de .... 0.000005 environ.
On peut trouver une autre courbe qui va beaucoup ressembler à la courbe initiale au point d'abscisse x=0. On va prendre la courbe d'équation :
y = 1+4x+5x2+7x3
Pour x=0.001, l'écart entre la courbe et cette tangente est 1 Million de fois plus petit !
Cette nouvelle courbe est la tangente à l'ordre 3. C'est un polynôme de degré 3, et c'est celui qui colle le mieux à la courbe initiale parmi tous les polynômes de degré 3.

Posté par
Thomasdxb
re : Etre tangente à l'ordre n, définition 07-08-22 à 07:16

Bonjour ty59847,
C'est très clair, merci !

Bonjour Zrun,
Je pense comprends, mais je ne parviens pas à la démontrer.

Par ailleurs, f'ai fait pas mal d'erreurs dans mon post initial, avec l'oubli de puissances n un peu partout, et des x-a qui n'apparaissent pas. Désolé !

Bon, on a donc supposé que f(x)=h_1(x-a)+o(\|x-a\|^n) et g(x)=h_2(x-a)+o(\|x-a\|^n).

Je cherche donc à montrer que f(x)-g(x)=o(\|x-a\|^n), autrement dit que f-g est tangente à 0 à l'ordre n au point a.
Il s'agit donc de montrer que \forall \epsilon>0, \exists \eta>0, \forall x\in U, \|x-a\|\le \eta implique \|f(x)-g(x)\|\le \epsilon \|x-a\|^n.
On a, par l'inégalité triangulaire, que :

\|(f(x)-h_1(x-a))-(g(x)-h_2(x-a))\|\ge \|f(x)-h_1(x-a)\|-\|g(x)-h_2(x-a)\|

Mais je ne vois pas comment s'en servir.
Egalement, on peut écrire que :

\|f(x)-g(x)\|=\|h_1(x-a)-h_2(x-a)+o(\|x-a\|^n)\|

Mais là encore, que ce soit en majorant ou en minorant, je ne vois pas comment conclure.

Il y a sûrement une définition/propriété liant h_1 et h_2 dont je ne me souviens pas.

j'aurais besoin d'un "guidage" supplémentaire

Merci beaucoup !

Posté par
carpediem
re : Etre tangente à l'ordre n, définition 07-08-22 à 09:06

salut

il peut être utile de remarquer que dire que f est tangente à 0 signifie (implique) f(a) = 0

donc encore en généralisant que f et g sont tangentes à l'ordre n si f(a) = g(a) et

f(x) - g(x) = f(a) - g(a) + o(||x - a||n)  (*)

et si (*) est vraie pour n alors elle est vraie pour tout p n (au moins dans un voisinage de a)

Posté par
Zrun
re : Etre tangente à l'ordre n, définition 07-08-22 à 11:17

Thomasdxb @ 07-08-2022 à 07:16



Bon, on a donc supposé que f(x)=h_1(x-a)+o(\|x-a\|^n) et g(x)=h_2(x-a)+o(\|x-a\|^n).

Je cherche donc à montrer que f(x)-g(x)=o(\|x-a\|^n), autrement dit que f-g est tangente à 0 à l'ordre n au point a.
Il s'agit donc de montrer que \forall \epsilon>0, \exists \eta>0, \forall x\in U, \|x-a\|\le \eta implique \|f(x)-g(x)\|\le \epsilon \|x-a\|^n.
On a, par l'inégalité triangulaire, que :

\|(f(x)-h_1(x-a))-(g(x)-h_2(x-a))\|\ge \|f(x)-h_1(x-a)\|-\|g(x)-h_2(x-a)\|


En fait c'est de ma faute, je suis aller un peu vite dans mon indication ...
Attention , on suppose ici que f et g sont tangentes à l'ordre n et on veut montrer que h_1(x-a) - h_2(x-a)  = O(||x-a||^n)
Voilà ce qu'il fallait comprendre :
1) Majorer ||(f(x)-h_1(x-a))-(g(x)-h_2(x-a))|| par inégalité triangulaire
2) Essayer de faire apparaître cette expression dans ||f(x) - g(x) || puis utiliser une minoration de l'inégalité triangulaire pour conclure l'estimation de ||h_1(x-a) - h_2(x-a)||



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