Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Etre tangente à l'ordre n, définition

Posté par
Thomasdxb 05-08-22 à 15:23

Bonjour,

Voici une définition :

Soient $U$ un ouvert de $E$ , un espace vectoriel normé, et $f$ une application de $U$ dans $F$ , un espace vectoriel normé. Soit $a$ un point de $U$ .
On dit que $f$ est tangente à zéro à l'ordre $n$ au point $a$ , et on écrit $f(x)=o(\|x-a\|_E^n)$ , si $\forall \epsilon >0, \exists \eta >0, \forall x\in U$ , $||x-a\|_E\le \eta$ implique $\|f(x)\|_F\le \epsilon \|x-a\|_E^n$ .

Egalement, on dit que deux applications $f$ et $g$ de $U$ dans $F$ sont tangentes à l'ordre $n$ en $a$ si $f-g$ est tangente à zéro à l'ordre $n$ au point $a$ .

Je ne comprends pas bien le sens de cette définition.
Si mes deux applications $f$ et $g$ sont tangentes à l'ordre $n$ en $a$ , je peux donc avoir par exemple $f(x)=h_1(x)+o(\|x-a\|_E)$ et $f(x)=h_2(x)+o(\|x-a\|_E)$ et donc $f(x)-g(x)=(h_1(x)-h_2(x))+o(\|x-a\|_E)$ , et f-g n'est pas tangente à zéro à l'ordre $n$ au point $a$ . Ou alors je n'ai pas saisi la définition ?

Merci pour vos lumières

Posté par re : Etre tangente à l'ordre n, définition 05-08-22 à 16:00

Justement si tu supposes par exemple une tangence à l'ordre $n$ en $a$ de $f$ et $g$ , cela veut dire avec les mains que les $n$ premiers termes d'un DL de $f$ et de $g$ en $a$ sont les mêmes ...

Donc dans ton cas, ça revient exactement à dire que $h_1(x) = h_2(x) + o(||x-a||_E)$ . Si tu veux montrer ça formellement, tu peux partir de $|| f - h_1 - g + h_2 ||$ et utiliser une minoration de l'inégalité triangulaire ...

Posté par re : Etre tangente à l'ordre n, définition 05-08-22 à 20:23

On va prendre un exemple très simple.
J'ai une première courbe :
y = 1+4x+5x²+7x³-11x⁴
La droite tangente à cette courbe au point d'abscisse x=0, c'est la droite d'équation y=1+4x
Pour reprendre la notation introduite ici, c'est une tangente à l'ordre 1.
Mais si on fait un dessin, on voit que la 'tangente' est de mauvaise qualité.
Pour x=0.001, l'écart entre la courbe et sa tangente est déjà de .... 0.000005 environ.
On peut trouver une autre courbe qui va beaucoup ressembler à la courbe initiale au point d'abscisse x=0. On va prendre la courbe d'équation :
y = 1+4x+5x²+7x³
Pour x=0.001, l'écart entre la courbe et cette tangente est 1 Million de fois plus petit !
Cette nouvelle courbe est la tangente à l'ordre 3. C'est un polynôme de degré 3, et c'est celui qui colle le mieux à la courbe initiale parmi tous les polynômes de degré 3.

Posté par re : Etre tangente à l'ordre n, définition 07-08-22 à 07:16

Bonjour ty59847,
C'est très clair, merci !

Bonjour Zrun,
Je pense comprends, mais je ne parviens pas à la démontrer.

Par ailleurs, f'ai fait pas mal d'erreurs dans mon post initial, avec l'oubli de puissances $n$ un peu partout, et des $x-a$ qui n'apparaissent pas. Désolé !

Bon, on a donc supposé que $f(x)=h_1(x-a)+o(\|x-a\|^n)$ et $g(x)=h_2(x-a)+o(\|x-a\|^n)$ .

Je cherche donc à montrer que $f(x)-g(x)=o(\|x-a\|^n)$ , autrement dit que $f-g$ est tangente à $0$ à l'ordre n au point $a$ .
Il s'agit donc de montrer que $\forall \epsilon>0, \exists \eta>0, \forall x\in U, \|x-a\|\le \eta$ implique $\|f(x)-g(x)\|\le \epsilon \|x-a\|^n$ .
On a, par l'inégalité triangulaire, que :

$\|(f(x)-h_1(x-a))-(g(x)-h_2(x-a))\|\ge \|f(x)-h_1(x-a)\|-\|g(x)-h_2(x-a)\|$

Mais je ne vois pas comment s'en servir.
Egalement, on peut écrire que :

$\|f(x)-g(x)\|=\|h_1(x-a)-h_2(x-a)+o(\|x-a\|^n)\|$

Mais là encore, que ce soit en majorant ou en minorant, je ne vois pas comment conclure.

Il y a sûrement une définition/propriété liant $h_1$ et $h_2$ dont je ne me souviens pas.

j'aurais besoin d'un "guidage" supplémentaire

Merci beaucoup !

Posté par re : Etre tangente à l'ordre n, définition 07-08-22 à 09:06

salut

il peut être utile de remarquer que dire que f est tangente à 0 signifie (implique) f(a) = 0

donc encore en généralisant que f et g sont tangentes à l'ordre n si f(a) = g(a) et

f(x) - g(x) = f(a) - g(a) + o(||x - a||ⁿ) (*)

et si (*) est vraie pour n alors elle est vraie pour tout p n (au moins dans un voisinage de a)

Posté par re : Etre tangente à l'ordre n, définition 07-08-22 à 11:17

Thomasdxb @ 07-08-2022 à 07:16

Bon, on a donc supposé que $f(x)=h_1(x-a)+o(\|x-a\|^n)$ et $g(x)=h_2(x-a)+o(\|x-a\|^n)$ .

Je cherche donc à montrer que $f(x)-g(x)=o(\|x-a\|^n)$ , autrement dit que $f-g$ est tangente à $0$ à l'ordre n au point $a$ .
Il s'agit donc de montrer que $\forall \epsilon>0, \exists \eta>0, \forall x\in U, \|x-a\|\le \eta$ implique $\|f(x)-g(x)\|\le \epsilon \|x-a\|^n$ .
On a, par l'inégalité triangulaire, que :

$\|(f(x)-h_1(x-a))-(g(x)-h_2(x-a))\|\ge \|f(x)-h_1(x-a)\|-\|g(x)-h_2(x-a)\|$

En fait c'est de ma faute, je suis aller un peu vite dans mon indication ...
Attention , on suppose ici que $f$ et $g$ sont tangentes à l'ordre n et on veut montrer que $h_1(x-a) - h_2(x-a) = O(||x-a||^n)$
Voilà ce qu'il fallait comprendre :
1) Majorer $||(f(x)-h_1(x-a))-(g(x)-h_2(x-a))||$ par inégalité triangulaire
2) Essayer de faire apparaître cette expression dans $||f(x) - g(x) ||$ puis utiliser une minoration de l'inégalité triangulaire pour conclure l'estimation de $||h_1(x-a) - h_2(x-a)||$

Posté par re : Etre tangente à l'ordre n, définition 11-08-22 à 11:51

Merci beaucoup carpediem et Zrun C'est très clair.

Posté par re : Etre tangente à l'ordre n, définition 11-08-22 à 13:01

Avec grand plaisir !

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