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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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étude affine d'un tore

Posté par
parrax
31-03-20 à 18:11

  Bonjour,

  Je voulais avoir votre avis sur un exercice.

  "Soit S le tore d'axe (Oz) dont les distances respectivement minimale et maximale à l'axe sont R-r et R+r, où R et r sont deux réels tels que 0<r<R, défini par
S=\left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}|(\sqrt{x^2+y^2}-R)^2+z^2=r^2 \right\}
1)Montrer que les points de S sont réguliers et déterminer l'espace tangent en p =(x_0,y_0,z_0).
2)Expliquer pourquoi ce tore est une surface de révolution autour de l'axe (Oz) en précisant la courbe qui tourne autour de (Oz) et en donnant une paramétrisation du tore."

Ma proposition:

1)  S=\left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}|(\sqrt{x^2+y^2}-R)^2+z^2=r^2 \right\} = \left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}|F(x,y,z)=0 \right\}
où  

F:\begin{cases} \mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \\ \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} \mapsto(\sqrt{x^2+y^2}-R)^2+z^2-r^2 \end{cases}

F est C^\infty sur E=\left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}|x\neq0  $et$  y\neq0 \right \}
\forall (x,y,z) \in E,\, DF(x,y,z)= \begin{pmatrix} \frac{2x}{\sqrt{x^2+y^2}}(\sqrt{x^2+y^2} -R) & \frac{2y}{\sqrt{x^2+y^2}}(\sqrt{x^2+y^2} -R) & 2z \end{pmatrix}.
Soit p= (x,y,z) \in S.
0<r<R donc on ne peut pas avoirx=0 et y=0.
Donc S\subseteq E.
Soit p= (x,y,z) \in S.
0<r<R donc on ne peut pas avoirx=0 et y=0 et z=0.
0<r donc on ne peut pas avoir \sqrt{x^2+y^2} -R=0 et z=0.
Donc DF(p)\neq0. Donc p est régulier.
Donc les points de S sont réguliers.
M=(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3} appartient à l'espace tangent affine à S en p=(x_0,y_0,z_0) ssi \frac{2x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}(\sqrt{x_0^2+y_0^2} -R)(x-x_0)+\frac{2y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}(\sqrt{x_0^2+y_0^2} -R)(y-y_0)+2z_0(z-z_0)=0
ssi \frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}(\sqrt{x_0^2+y_0^2} -R)(x-x_0)+\frac{y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}(\sqrt{x_0^2+y_0^2} -R)(y-y_0)+z_0(z-z_0)=0 équation cartésienne de l'espace tangent affine à S en p=(x_0,y_0,z_0).

2) Montrons que S=\left\{ (\rho\cos(\theta),\rho\sin(\theta),z)\in\mathbb{R}^{3}|(\rho-R)^2+z^2=r^2 \right\}.
Si (x,y,z)\in S, alors (\sqrt{x^2+y^2}-R)^2+z^2=r^2. On pose \rho = \sqrt{x^2+y^2}. Alors x^2+y^2=\rho^2. Il existe \theta \in [0,2\pi[ tel que x=\rho \cos(\theta) et y=\rho \sin(\theta).
On a (\rho-R)^2+z^2=r^2.
Donc (x,y,z) \in  \left\{ (\rho\cos(\theta),\rho\sin(\theta),z)\in\mathbb{R}^{3}|(\rho-R)^2+z^2=r^2 \right\}
 \\ .
Si (x,y,z) \in  \left\{ (\rho\cos(\theta),\rho\sin(\theta),z)\in\mathbb{R}^{3}|(\rho-R)^2+z^2=r^2 \right\}
 \\ , alors  x^2+y^2=\rho^2 avec (\rho-R)^2+z^2=r^2 soit (\sqrt{x^2+y^2}-R)^2+z^2=r^2. Donc (x,y,z)\in S.
Donc il s'agit du même ensemble.
Si \gamma :I\subset \mathbb{R}\rightarrow (y0z),t\mapsto \gamma (t)=(0,y(t),z(t)) est un arc paramétré et \Gamma =\gamma (I) la courbe associée dans le plan (y0z) alors la surface obtenue par la rotation de cette courbe autour de l'axe (0z) est une surface de révolution qui est paramétrée par \varphi : (t,\theta) \in I \times [0,2 \pi[ \mapsto (y(t)\cos(\theta),y(t)\sin(\theta),z(t)).
S est une surface de révolution obtenue en faisant tourner autour de l'axe (0z) le cercle \Gamma =\gamma ([0,2\pi[) du plan (y0z) centré en (0,R,0) de rayon r paramétré par \gamma : \begin{cases} [0,2\pi[ \to \mathbb{R}^3 \\ t \mapsto (0,r\cos(t)+R,r\sin(t)) \end{cases}.
S est paramétrée par \varphi : (t,\theta) \in [0,2 \pi[ \times [0,2 \pi[ \mapsto ((r\cos(t)+R)\cos(\theta),(r\cos(t)+R)\sin(\theta),r\sin(t)).

Qu'en pensez-vous?

Merci.







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