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Etude d'un projecteur
Bonjour à tous !
Je bloque sur un exercice qui n'a pourtant pas l'air bien méchant.
On me donne défini par
, E un
-espace vectoriel,
l'endomorphisme nul et f un endomorphisme de E vérifiant
.
On a montré en début d'exercice que 1 est l'unique racine réelle de T, et on a posé et
les deux autres racines de T.
On a ensuite posé trois polynômes : . On a montré que ces trois polynômes forment une base de
.
La question ou je bloque est la suivante. Déterminer pour tout entier naturel n un triplet de complexes tel que
et justifier la convergence des suites
vers des réels respectifs a, b et c.
La dernière question de l'exercice est ensuite : on pose . Montrer que h est un projecteur.
Merci d'avance pour toute aide ! 
Bonjour
Commence par calculer et
en tenant compte du fait que
. Un début de récurrence devrait apparaitre.
Bonsoir Sylvieg, bonsoir Camélia.
J'ai en effet fait une erreur en recopiant mon énoncé, merci pour la correction.
J'ai essayé de poursuivre grâce à l'indication de Camélia, mais je ne suis pas sûr de bien maîtriser les applications des polynômes d'endomorphismes. La nullité de T(f) nous donne une relation de récurrence entre les premières composées de f (jusqu'à ), mais je ne vois pas comment la généraliser.
Je ne suis pas contre un petit coup de pouce supplémentaire. Merci d'avance !
Mais ici tu iras plus vite en cherchant la division euclidienne de par T(X) : le quotient nous importe peu, car T(f) étant nul, on peut bien le multiplier par ce qu'on veut
ce qui est important c'est le reste : il est de degré au maximum 2, donc peut s'exprimer dans la base
tu trouveras les coordonnées en écrivant l'égalité pour X = 1, puis alpha puis beta, ça te donnera un système linéaire à résoudre
Bonjour lafol,
Désolé de revenir si tard, je n'ai pas pu répondre plus tôt. Merci beaucoup pour votre indication, elle m'a permis d'avancer. Voici où j'en suis.
Comme T est de degré 2, le reste de la division de par T sera en effet de degré au plus 2 et comme
est une base de
, on peut en effet écrire ce reste comme combinaison linéaire de ces trois polynômes. J'ai ensuite remplacé X par 1, alpha et beta comme vous me l'avez conseillé. Comme ce sont des racines de T, le terme Q(X)T(X) s'annule, tout comme deux des trois polynômes
à chaque fois. On obtient les trois équations suivantes.
et comme alpha et beta sont les racines différentes de 1 de
, on en déduit que
.
On peut ainsi écrire f sous la forme recherchée puisque T(f)=0. La suite est constante et donc convergente. Quant à
, comme
sont de module strictement inférieur à 1, on en déduit que
convergent vers 0, donc
aussi.
Ce qui nous laisse , sauf erreur de ma part. Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance pour toute réponse ! 
J'ai attendu pour répondre car je ne vois pas comment démontrer que h est est un projecteur.
Je me contente de confirmer le résultat h = (1/2)L3(f) .
Finalement, ça marche pour h projecteur.
Pour simplifier le calcul, poser g = 6h = 3f2 + 2f + IdE , puis calculer
gog .
On trouve 6g .
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