Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau maths sup
Partager :

etude d'un raccord avec et sans le theoreme limite de la dérivée

Posté par
Citronjaune
03-01-18 à 15:49

Bonjour,
j'ai un problème de mathématiques, je dois montrer que la fonction si dessous:
f: [0,pi]->R
  x-> (cos(ax)-1)/sin(x/2) si x est different de 0
            0 si x=0
est de classe C1.
Il faut le faire faire avec puis sans le théorème limite de la dérivée. Pour le faire avec, j'ai montrer que f était continue et C1 sur R privé de 0 mais je n'arrive pas  à étudier la limite de la dérivée en 0. On me donne aussi les développements limités de sin et cos 0 mais je ne sais pas trop m'en servir.
Merci pour votre aide.

Posté par
larrech
re : etude d'un raccord avec et sans le theoreme limite de la dé 03-01-18 à 16:01

Bonjour,

Qu'obtenez vous comme expression de f' ?

Posté par
jsvdb
re : etude d'un raccord avec et sans le theoreme limite de la dé 03-01-18 à 16:06

Bonjour Citronjaune

Et pour le faire sans le théorème limite de la dérivée, il faut calculer \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}= \dfrac{f(x)}{x} et regarder ce qu'il se passe quand x tend vers 0.

Posté par
Citronjaune
re : etude d'un raccord avec et sans le theoreme limite de la dé 03-01-18 à 16:13

Bonjour, merci de m'avoir répondu,
pour f' j'obtiens:
f'(x)=[-asin(ax)sin(x/2)-(cos(ax)/2)cos(x/2)+(cos(x/2)/2)]sin^2(x/2)

Posté par
Citronjaune
re : etude d'un raccord avec et sans le theoreme limite de la dé 03-01-18 à 16:15

Bonjour jsvdb,
quand je fais ça je trouve que f'(0)=0 mais après le problème reste le meme il faut quand meme montrer que f' est continue en 0 en étudiant sa limite et c'est ce que je n'arrive pas à faire.

Posté par
larrech
re : etude d'un raccord avec et sans le theoreme limite de la dé 03-01-18 à 16:26

Je pense qu'il manque un / perdu en cours de route, mais peu importe.

Il vaut mieux laisser sous la forme

f'(x)=-a\dfrac{sin(ax)   }{sin(\dfrac{x}{2})}-\dfrac{1}{2}cos(\dfrac{x}{2})\dfrac{cos(ax)-1}{sin^2\dfrac{x}{2}}

Ainsi on est conduit à chercher la limite en 0 de \dfrac{sin(ax)   }{sin(\dfrac{x}{2})} d'une part, et de \dfrac{cos(ax)-1}{sin^2\dfrac{x}{2}} d'autre part,

ce qui est plus simple.

Posté par
Citronjaune
re : etude d'un raccord avec et sans le theoreme limite de la dé 03-01-18 à 16:49

Merci Larrech, je pense avoir trouvé, par contre je ne me suis pas servie des développements limités et ça me parait bizarre. Est-ce normal ?

Posté par
larrech
re : etude d'un raccord avec et sans le theoreme limite de la dé 03-01-18 à 16:49

Et quel est votre résultat ?

Posté par
Citronjaune
re : etude d'un raccord avec et sans le theoreme limite de la dé 03-01-18 à 16:51

Avec des limites usuelles de cos et sin je trouve que la limite de f' en 0 est 0.

Posté par
jsvdb
re : etude d'un raccord avec et sans le theoreme limite de la dé 03-01-18 à 16:53

Pour la version g(x) = f(x)/x tu obtiens g(x) = \frac {\cos(ax)-1}{x\sin(x/2)} et tu peux utiliser les DL en 0 que tu évoques :

\cos(ax) = 1- \frac{a^2x^2}{2} + o(x^2)

\sin(x/2) = x/2 + o(x^2)

Du coup :

g(x) = \dfrac {-\frac{a^2x^2}{2} + o(x^2)}{x^2/2 + o(x^2)}

Donc quand x tend vers 0, g tend vers -a^2

Reste à voir si ce nombre est la limite de f'(x) lorsque x tend vers 0 par valeurs différentes de 0.

Rappel : les o(x^2) sont des fonctions de la forme x^2\varepsilon(x)\varepsilon tend vers 0 en 0

Posté par
larrech
re : etude d'un raccord avec et sans le theoreme limite de la dé 03-01-18 à 17:10

Citation :
Avec des limites usuelles de cos et sin je trouve que la limite de f' en 0 est 0.


Non, on obtient aussi  lim_{x\to0}f'=-a^2

Au voisinage de 0,  \dfrac{sin(ax)}{sin(\dfrac{x}{2})}=\dfrac{ax+o(x)}{\dfrac{x}{2}+o(x)} et

 \dfrac{cos(ax)-1}{sin^2\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1-\dfrac{a^2x^2}{2}+o(x^2)-1}{\dfrac{x^2}{4}+o(x^2)}}

Posté par
Citronjaune
re : etude d'un raccord avec et sans le theoreme limite de la dé 03-01-18 à 17:14

je pense que nous n'avons pas le même DL pour le sinus, celui qu'on me donne est:
sint= t-((t^3)/2)+o(t^3)

Posté par
jsvdb
re : etude d'un raccord avec et sans le theoreme limite de la dé 03-01-18 à 17:20

Ce DL est l'ordre 3.
Celui que je t'ai donné est à l'ordre 2 pour coller avec celui du cosinus.
Pour trouver les limites, pas besoin d'avoir un ordre supérieur à 2.

Posté par
larrech
re : etude d'un raccord avec et sans le theoreme limite de la dé 03-01-18 à 17:21

Si, c'est le même, mais je me suis arrêté au premier ordre, ce qui suffit ici (le terme en x^3 est "dans" le o(x))

Posté par
Citronjaune
re : etude d'un raccord avec et sans le theoreme limite de la dé 03-01-18 à 18:08

ah d'accord ! j'ai compris, merci beaucoup de votre aide !

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1324 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !